Educational Codeforces Round 51 Div. 2

前四題比較水，E題寫出來有BUG最後沒時間調試了，賽後才AC。

A. Vasya And Password

題意

多組輸入，有一個字符串，修改儘可能少的字符使得字符串中包含大寫字母，小寫字母和數字，保證存在修改後滿足要求的字符串。

思路

先掃一遍字符串得到大寫字母，小寫字母和數字的數量。若均大於$0$，則不修改；若兩種字符的數量大於$0$，則取其中一種數量大於$1$的字符，取一位修改爲剩下的字符，這裏必然會有一種字符的數量大於$1$，否則字符串長度只有$2$，無法修改得到滿足要求的字符串；若只有一種字符的數量大於$0$，取兩位分別修改爲剩下的兩種字符。

B. Relatively Prime Pairs

題意

對於從$l$到$r$的連續正整數序列，配對，保證每一對正整數的最大公約數爲$1$。

思路

任意相鄰兩個正整數的最大公約數爲$1$，取相鄰的正整數配對即可。證明如下，對於正整數$i$和$i+1$，由輾轉相除法得$GCD(i+1, i) = GCD(i, 1) = 1$。

C. Vasya and Multisets

題意

有一個集合，若一個數僅出現了一次，則爲好數。要求將這個集合分成兩個集合，使得兩個集合中好數的數量相等。

思路

若集合中好數的數量爲偶數，則平均分配到兩個集合，其它數均分配到同一個集合；若集合中好數的數量爲奇數，則從其它數中取一個出現次數大於或等於$3$的數，將其中一個與其餘分別分配到不同的集合，那麼這個數在只有一個被分配到的集合中也是好數，此時可以分配的好數總數量爲偶數，平均分配即可；若集合中好數的數量爲奇數，並且其它數的出現次數均小於$3$，那麼無法滿足要求。

D. Bicolorings

題意

對$2 \times n$的格子着色，僅能着黑色或白色，問色塊數爲$k$的着色方案有多少種。色塊定義如下，若兩個格子顏色相同且相鄰，則屬於同一色塊；若兩個格子顏色相同且所屬色塊相鄰，則屬於同一色塊；否則屬於不同色塊。

思路

考慮動態規劃，記錄前$i$列色塊數爲$j$的着色方案數，並且對於當前列爲黑黑，黑白，白黑，白白的着色方案數分別計數，即三維動態規劃，
總存儲空間爲$O(n \times k \times 4)$。先確定$i = 1$時各色塊數對應的着色方案數，然後對於$i$從$1$到$n-1$，$j$從$1$到$k$，下一列着色方案數加上當前列着色方案數，往後更新着色方案數如下：

(當前列着色，下一列着色)	當前列着色方案數	下一列着色方案數
（黑黑，黑黑）	$dp[i][j][0]$	$dp[i+1][j+0][0]$
（黑黑，黑白）	$dp[i][j][0]$	$dp[i+1][j+1][1]$
（黑黑，白黑）	$dp[i][j][0]$	$dp[i+1][j+1][2]$
（黑黑，白白）	$dp[i][j][0]$	$dp[i+1][j+1][3]$
（黑白，黑黑）	$dp[i][j][1]$	$dp[i+1][j+0][0]$
（黑白，黑白）	$dp[i][j][1]$	$dp[i+1][j+0][1]$
（黑白，白黑）	$dp[i][j][1]$	$dp[i+1][j+2][2]$
（黑白，白白）	$dp[i][j][1]$	$dp[i+1][j+0][3]$
（白黑，黑黑）	$dp[i][j][2]$	$dp[i+1][j+0][0]$
（白黑，黑白）	$dp[i][j][2]$	$dp[i+1][j+2][1]$
（白黑，白黑）	$dp[i][j][2]$	$dp[i+1][j+0][2]$
（白黑，白白）	$dp[i][j][2]$	$dp[i+1][j+0][3]$
（白白，黑黑）	$dp[i][j][3]$	$dp[i+1][j+1][0]$
（白白，黑白）	$dp[i][j][3]$	$dp[i+1][j+1][1]$
（白白，白黑）	$dp[i][j][3]$	$dp[i+1][j+1][2]$
（白白，白白）	$dp[i][j][3]$	$dp[i+1][j+0][3]$

E. Vasya and Big Integers

題意

將一個數劃分成一組數，劃分後的數按順序連接得到原來的數，要求這組數中的每個數都沒有前導零，並且在$[l, r]$之間，問劃分方案有多少種。

思路

考慮動態規劃，對於前$i$個數和前$j$個數的劃分方案，若$i \lt j$並且從第$i+1$位到第$j$位組成的數滿足條件，則前$i$個數的每一個劃分方案分別連接新的數均可以得到一種前$j$個數的劃分方案，因此$dp[j] = \sum dp[i]$。對於所有滿足條件的$i$可以根據需要連接的數分成三類，若需要連接的數的位數與$l$的位數相等，則需要與$l$比較判斷是否滿足要求；若需要連接的數的位數與$r$的位數相等，則需要與$r$比較判斷是否滿足要求；若需要連接的數的位數比$l$的位數多，比$r$的位數少，則必然滿足要求，並且可以用前綴和優化。需要注意的是，計算前綴和時，記錄空串方案數爲$1$，並且跳過所有連接前導零的劃分方案。