雙線性插值

雙線性插值

原創

AliceLeeHX

2018-09-26 06:26

雙線性插值：顧名思義就是兩個方向的線性插值加起來。即：分別在x軸和y軸都做一遍線性插值，就是雙線性插值。

線性插值：即一維狀態下的插值，在數軸上的表示就是有兩個點A,B,此時若想向A，B間插入一個值（點）C,之間將C插入到A，B之間的連線上即可，即C的座標爲線段AB對應的中點座標，若A，B均有對應的值，則C的取值爲A、B取值的平均數。

例：A(0,0;0)，B(0,10;10),向A、B中插值C，則此時C應爲(0,5;5)

雙線性插值：瞭解了什麼叫線性插值，那麼雙線性插值就不難理解了，此時A，B不變，插入的C跟A，B不在同一條直線上，此時在座標系上的表現就是由一維數軸轉化到了二維座標系中，此時只要分別做X軸和Y軸的線性插值就可以了，如圖，已知Q12，Q22，Q11，Q21，但是要插值的點爲P點，這就要用雙線性插值了，首先在x軸方向上，對R1和R2兩個點進行插值，這個很簡單，然後根據R1和R2對P點進行插值，這就是所謂的雙線性插值。

【維基百科詞條解釋】

雙線性插值，又稱爲雙線性內插。在數學上，雙線性插值是有兩個變量的插值函數的線性插值擴展，其核心思想是在兩個方向分別進行一次線性插值。

假如我們想得到未知函數在點 $P=\left( x, y\right)$ 的值，假設我們已知函數在 $Q_{11} = \left( x_1, y_1 \right)$ , $Q_{12} = \left( x_1, y_2 \right)$ , $Q_{21} = \left( x_2, y_1 \right)$ , 及 $Q_{22} = \left( x_2, y_2 \right)$ 四個點的值。

首先在 x 方向進行線性插值，得到

$f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{Where}\quad R_1 = (x,y_1),$

$f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{Where}\quad R_2 = (x,y_2).$

然後在 y 方向進行線性插值，得到

$f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).$

這樣就得到所要的結果 $f \left( x, y \right)$ ,

$f(x,y) \approx \frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) + \frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y)$

$+ \frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) + \frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1).$

如果選擇一個座標系統使得的四個已知點座標分別爲 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，那麼插值公式就可以化簡爲

$f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.$

或者用矩陣運算表示爲

$f(x,y) \approx \begin{bmatrix} 1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(0,0) & f(0,1) \\ f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-y \\ y \end{bmatrix}$