多元正態分佈的條件分佈與邊緣分佈

問題概述

問題是這樣的，一個$n$元的隨機向量
$x = \left [ \begin{matrix}x_1 \\ x_2\end{matrix} \right ]$ 服從正態分佈$N(x,\mu,\Sigma)$，其中

$\mu = \left [ \begin{matrix}\mu_1 \\ \mu_2\end{matrix} \right ]$

$\Sigma = \left [ \begin{matrix}\Sigma_{11}&\Sigma_{12} \\ \Sigma_{21}&\Sigma_{22}\end{matrix} \right ]$

注意到，$x_1$和$x_2$的維度分別是$p$和$q$，且$p+q=n$，且有$\Sigma=\Sigma^T$和$\Sigma_{21}=\Sigma_{21}^T$。

此時應該有如下兩個結論：

結論1：
$x_1,x_2$的邊緣分佈也是正態分佈，均值爲向量$\mu_i$，協方差矩陣爲$\Sigma_{ii}(i=1,2)$。

結論2：
給定$x_j$時，$x_i$的條件分佈也是正態分佈，均值爲向量$\mu_{i|j}=\mu_i + \Sigma_{ij}\Sigma_{jj}^{-1}(x_j-\mu_j)$，協方差矩陣爲$\Sigma_{i|j}=\Sigma_{jj}-\Sigma_{ij}^T\Sigma_{ii}^{-1}\Sigma_{ij}$

課上老師給出了結論2中關於均值和協方差矩陣的簡單證明方法，我糾結的點主要在如何去證明條件分佈本身是正態分佈。在參考鏈接中得到了答案。

參考鏈接：
詳細證明：http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/gaussianprocess/node7.html
A glimpse：http://www.stats.ox.ac.uk/~steffen/teaching/bs2HT9/gauss.pdf
問題解析出處參考：https://stats.stackexchange.com/questions/30588/deriving-the-conditional-distributions-of-a-multivariate-normal-distribution