【第二十四届全国青少年信息学奥林匹克联赛】NOIP2018普及组初赛试题解析（C++语言）

选择题

1.D 【解析】打印机属于输出设备，它将一些信息通过打印机打印出来。扫描仪，键盘，鼠标属于输入设备。
2.D 【解析】 A，B，C选项的十进制数值都是$617$，D选项的数值是$619$。
3.D 【解析】 $1MB=1024KB=1024×1024B$
4.B 【解析】 广域网的缩写是$WAN$，局域网是$LAN$，城域网是$MAN$。
5.B 【解析】 常识，要对信息学竞赛的背景有所了解。背景：1984年邓小平指出：“计算机的普及要从娃娃做起。”中国计算机学会于1984年创办全国青少年计算机程序设计竞赛（简 称：NOI），当年参加竞赛的有8000多人。
6.A 【解析】首先我们要知道CapsLock是键盘上用于切换大小写得键。例如，你们来输入的是小写的a，如果你按了CapsLock键，输出的就是大写的$A$。模拟题目中的规矩，可以得到循环：$（A，S，D，F，a，s，d，f）$。其中每八个字母一个循环。$81 mod 8=1$，那么输出的就是循环节的第一个字符$A$。
7.A 【解析】 节点总数为：$k$⁰$+$$k$¹$+$…$+$$k$^h，接下来的问题就是如何化简这个等比数列了。设$S=k$⁰$+$$k$¹$+$…$+$$k$^h，则$kS=k$¹$+$$k$²$+$…$+$$k$³，$kS-S=S(k-1)=k$^h+1$-1$,化简一下就是$S=（k$^h+1$-1）/（k-1）$。
8.A 【解析】 基数排序是根据每一个数位的大小进行排序的，类似于桶排序的思想。而冒泡排序，堆排序和直接插入排序都是基于比较的。
9.A 【解析】我们可以选用递推的方法，设f[i]为i个数比大小的最小次数，$f[i]=f[i-2]+3,f[1]=0,f[2]=1$。含义就是对于每一组数，取两个数比大小要$1$次，对于剩下的$i-2$个数要$f[i-2]$次，一次最大，一次最小，所以要$f[i-2]+1+2=f[i-2]+3$次，n=3-10的数据分别是$3,4,6,7,9,10,12,13$，带入得A （好吧我也不是特别会）
10.B【解析】NOIP原题，不断的出现重复和递归的结构十分相似。
11.A【解析】画图，略。
12.B【解析】对于我们所要求的S，相当于一个$10$位的二进制位，$1$表示取，$0$表示不取，则共有$2$¹⁰$=256$种方案，或者暴力一点，$C(0,10)+C(1,10)+C(2,10)+...+C(10,10)=1024$,显然这两种方法都是可行的；对于T，显然是10选7的组合数，即$C(7,10)=120$，那么$T/S=120/1024=15/128$,选择答案B。
13.B【解析】求10000的欧拉函数，根据唯一分解定理，$10000=2$⁴$*5$⁴,那么就可以直接根据公式，$φ(10000)=10000×(1-1/2)×(1-1/5)=4000。$
14.B【解析】树状数组$lowbit$运算，求二进制位有多少个$1$。当然考场上最简单的方法莫过于带一个数进去了，算完后就知道ACD算不出答案。
15.B【解析】结构类似于桶，先进后出，属于数据结构栈。

---

问题求解

第一题.去了 没去 没去 没下雨
【解析】
从中我们知道一个规律，如果$AB$都成立那么$C$成立，若C不成立，A和B中有一个成立的时候另一个便不成立。
因为丙去了，根据已知$③$可知丁不去。
根据$④$，如果丁和甲同时不去，说明丙也不能去，而因为丁去了，只有让甲去丙才能不去。
根据$②$，如果乙去则丁去，当丁没去说明乙也没有去。
根据$①$，如果下雨且乙不去那么甲也不去，而乙去了，甲却没去，说明没有下雨。
我们要根据已知去推，这也是一道比较简单的逻辑题了。
第二题.$544$
【解析】
我们从位数去考虑。
1位数：$1$个。只有一个数字$8$.
2位数：如果十位$1,2,3,4,5,6,7,9$，那么有$8$个（后面都接上1位的方案数）；如果十位是$8$，则有$10$个数字（$8$后接任意数组均可）。共有$8+10=18$（个）
3位数：如果百位$1,2,3,4,5,6,7,9$，那么有面可以跟个位有数字$8$的（如$108$），也可以跟十位有数组$8$的（如$188$），共$8×(1+18)=152$种；若百位是$8$，有$100$种方案。共有$152+100=252$（个）
4位数：$1$开头有$1+18+252=271$（个）；$2$开头有$2008,2018$，共$2$个；共有$271+2=273$个。
共计：$1+18+252+273=544$（个）

---

阅读程序写结果

1.$RuanHuoMianTai$
【解析】程序的左右是扫描字符串的每一个字符，使得每一个大写字母ASC码+1，或者变成刚刚比它大1（或后面）的大写字母。
2.$4$
【解析】程序的作用是从1-14种寻着是否存在数i，使得$i$² $mod 15=1$(或$i$² %$15=1$),通过手动计算不难发现满足条件的数字是$1,4,6,14$；共计$4$个数，因此答案是$4$。
3.$8$
【解析】这是一道递归的计算题，如果直接这么做显然显得麻烦了。因此我们可以通过画二维表的方式来求解这个答案。

对于第0行，其大小为该纵座标。
对于第0列，其大小为该横座标对于3取模的值。
对于任何一个非0座标，其大小为上面的数值加上左上角的数值减去左边的数值。
我们可以采用递推的方法解决。
4.$6$
【解析】这道题就是一个模拟链表的过程，查找有多少个联通快。仔细模拟，发现是6个。

---

完善程序

1.最大公约数之和 答案：i * i; n/i; return a; a%b; ans+gcd(a[i],b[i])
【解析】 题目的过程就是先找到所有的因数，再进行累加。
我们首先看第一段，有一个函数的名称叫做getDivisor，其实就是求解每一个n的因子。
依照题意，时间复杂度是（Osqrt(n)）,那么我们在每一因子i的时候就是1-sqrt（n）这个区间来枚举的。对于最大情况，只有i * i=n,超过就不满足时间复杂度和枚举的要求了，因此第一空所填的就是i * i。当枚举的时候如果这个数是i的因子那么就接着统计。以36为例，i是从1-6来枚举的，如果枚举到2，那么因子18就是通过36/2，或者是n/i来得到；特别的，当i=6的时候，不需要操作，此时n=i*i,即n/i=i时不需要进行操作，所有第二空所填的是n/i。需要注意，尽管使用sqrt函数仍然属于等价写法，但是程序中并没有加载cmath库，因此这么写是错误的。
再看求去最大公因数的过程gcd，这就是一个模拟辗转相除法的过程。复杂度是O（logMAXAB）级别的，因此不要写成是辗转相减法。如果余数是0就返回a，那么第三空就是return a；否则继续取模，因此第四空是a%b。
接下来就是累加答案，累加每一个质因子即可，存在ans上面。因此第五空是ans+gcd(a[i],a[j])。
2.链表 答案：a[x]=i;i+1;R[a[i]];a[i];R[i]
【解析1】套路法（分数8-14）
空1：唯一可行的两个答案a[i]=x和a[x]=i，若是前者可直接cin>>a[i]代替，故答案为后者。
空2：L是i-1，那么R是指向右节点的，上下符号相反，必然是i+1
空3/4：上下文对称，L和R恰好反一下。例如第一句是L[R[a[i]]]=L[a[i]];第二句是R[L[a[i]]]=R[a[i]],根据双向链表的对称性很容易得到答案。
空5：套中套，很多人想到的是R[a[i]]，符合上文的结构，但是阴险的出题人一定会在最后一个空坑你一把，只让你输出最简单的R[i],你也可以考试的时候推一下。
【解析2】理解算法含义
第一空是标记每一个x出现的位置；
第二空双向链表R指向后面的元素，即i+1；
三四空是用于删除元素，这是链表最基本的删除操作，可以自行理解数据结构的实现；
第五空主要是输出每一个元素的答案，但是要按照输入的顺序进行输出因此要R[i]而不是R[a[i]],否则就按照了大小的顺序输出了。

---

试题答案

本人预估浙江分数线85上下
（不要14年那么恐怖就好）
浙江学子依旧生活在水深火热之中…
能在考场上拿到90分已经是很满意了。
若有疏忽或者意见望大家指正。