bzoj5008 方師傅的房子 二分+叉積

Description

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方師傅來到了一個二維平面。他站在原點上，覺得這裏風景不錯，就建了一個房子。這個房子是n個點的凸多邊形，原點一定嚴格在凸多邊形內部。有m個人也到了這個二維平面。現在你得到了m個人的座標，你要判斷這m個人中有多少人在房子內部。點在凸多邊形邊上或者內部都認爲在房子裏面。

第一行一個數n，接下來n行，每行兩個整數x，y。輸入按照逆時針順序輸入一個凸包。
接下來一個數m，最後有m行，第一行兩個整數 x，y，表示第一個人的座標。
對於第i個詢問(i>=2) ，輸入兩個數dx，dy。
如果上一個人在房子內部，x[i]=x[i-1]+dx,y[i]=y[i-1]+dy。否則x[i]=x[i-1]-dx,y[i]=y[i-1]-dy。
n <= 100000， m <= 200000，輸入保證所有人的座標，房屋的座標都在[-1e9，1e9]之內。

Solution

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計算幾何只會凸包系列

先回顧一下什麼是叉積。

如上圖，我們有兩個紅色向量共起點。它們的叉積爲$|{\vec{a}}| |{\vec{b}}|\cdot\sin\theta$，其中夾角爲圖中綠色部分，可知叉積有正負。這裏夾角的範圍是$(0,2\pi)$

以上圖爲慄。一個比較顯然的做法就是我們選取兩條鄰邊，待判斷點在凸多邊形內必有它在這兩條鄰邊組成的兩個半平面的交內（長&繞
於是我們得到一個O(n)的做法，只需要枚舉每個頂點以及兩鄰邊做這個即可

考慮優化這個東西。我們選取任意一個點（莉如圖中紅點），做三角剖分。待判斷點在多邊形內必有它在某一三角形內部。我們二分所在三角形的一條邊，用上面的方法判斷是否在三角形內就行了

Code

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#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

const int N=200005;

struct pos {
	double x,y;
	pos operator -(pos b) const {return (pos) {x-b.x,y-b.y};}
	pos operator +(pos b) const {return (pos) {x+b.x,y+b.y};}
	double operator *(pos b) const {return x*b.y-y*b.x;}
} p[N],s,pre;

double cros(pos a,pos b,pos c) {
	return (a-c)*(b-c);
}

int main(void) {
	int n,ans=0; scanf("%d",&n);
	rep(i,1,n) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
	bool flag=false,first=false;
	int m; for (scanf("%d",&m);m--;) {
		scanf("%lf%lf",&s.x,&s.y);
		if (first) {
			if (flag) s=s+pre;
			else s=pre-s;
		} else first=true;
		flag=false;
		if (cros(p[2],s,p[1])>=0&&cros(p[n],s,p[1])<=0) {
			int l=2,r=n;
			for (;l<=r;) {
				int mid=(l+r)>>1;
				if (cros(p[mid],s,p[1])>0) {
					l=mid+1;
				} else r=mid-1;
			}
			if (cros(p[1],s,p[l])>=0&&cros(p[l-1],s,p[l])<=0) {
				flag=true;
			}
		}
		ans+=flag; pre=s;
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}