- 問題描述、
問題描述：最接近點對問題，給定平面上n個點，找其中的一對點，使得在n個點組成的所有點對中，該點對間的距離最小。
- 設計思路
設計思路：設S中的點爲平面上的點，它們都有2個座標值x和y。爲了將平面上點集S線性分割爲大小大致相等的2個子集S1和S2，我們選取一垂直線l:x=m來作爲分割直線。其中m爲S中各點x座標的中位數。由此將S分割爲S1={p∈S|px≤m}和S2={p∈S|px>m}。從而使S1和S2分別位於直線l的左側和右側，且S=S1∪S2。由於m是S中各點x座標值的中位數，因此S1和S2中的點數大致相等。遞歸地在S1和S2上解最接近點對問題，我們分別得到S1和S2中的最小距離d1和d2。現設d=min(d1,d2)。若S的最接近點對(p,q)之間的距離d(p,q)<d則p和q必分屬於S1和S2。不妨設p∈S1，q∈S2。那麼p和q距直線l的距離均小於d。因此，我們若用P1和P2分別表示直線l的左邊和右邊的寬爲d的2個垂直長條，則p∈S1，q∈S2，如圖所示:
距直線l的距離小於d的所有點
在一維的情形，距分割點距離爲d的2個區間(m-d,m](m,m+d]中最多各有S中一個點。因而這2點成爲唯一的末檢查過的最接近點對候選者。二維的情形則要複雜些，此時，P1中所有點與P2中所有點構成的點對均爲最接近點對的候選者。在最壞情況下有n2/4對這樣的候選者。但是P1和P2中的點具有以下的稀疏性質，它使我們不必檢查所有這n^2/4對候選者。考慮P1中任意一點p,它若與P2中的點q構成最接近點對的候選者，則必有d(p,q)<d。滿足這個條件的P2中的點有多少個呢？容易看出這樣的點一定落在一個d×2d的矩形R中，如下圖所示:
包含點q的dX2d矩形R
由d的意義可知P2中任何2個S中的點的距離都不小於d。由此可以推出矩形R中最多隻有6個S中的點。事實上，我們可以將矩形R的長爲2d的邊3等分，將它的長爲d的邊2等分，由此導出6個（d/2）×（2d/3）的矩形。如左圖所示:
矩陣R中點的稀疏性
若矩形R中有多於6個S中的點，則由鴿舍原理易知至少有一個δ×2δ的小矩形中有2個以上S中的點。設u,v是這樣2個點，它們位於同一小矩形中，則：
- 數據結構：
a[N]：存放隨機生成的點集
b[N]，c[N]：分別存放分塊後的兩部分點集
t[1],q[2],p[2],o[2]：工作數組
d：兩點直接距離
dmin1：第一部分中最近兩點之間距離
dmin2：第二部分中最近兩點之間距離
dmin：最近兩點之間距離
- 算法描述：
- For i=0 to N
- a[i].x<-rand()%101,a[i].y<-rand()%101//隨機生成N個空間座標點
- For i=0 to N
- If(a[i].x<N/2) then
- {b[j]=a[i];j++}
- Else
- {c[k]=a[i];k++}
- For i=0 to j
- For r=i+1 to j
- d=sqar((b[i].x-b[r].x)²+(b[i].y-b[r].y)²)
- If(d<dmin1) then
- {dmin1=d;p[0]=b[i];p[1]=b[r]}
- For i=0 to k
- For r=i+1 to k
- d=sqar((c[i].x-c[r].x)²+(c[i].y-c[r].y)²)
- If(d<dmin2) then
- {dmin2=d;q[0]=c[i];q[1]=c[r]}
- dmin=min{dmin1,dmin2};o[2]=min{p[2],q[2]}
- for i=0 to j
- if((c[r].x-N/2)<dmin) and (c[r].y-b[i].y)<dmin) then
- {d=d(c[r],b[i]);o[0]=b[1];o[1]=c[r]}
- If(d<dmin) then
- dmin=d;
- Output(d,o[2])
- 測試用例：隨機輸入100個點爲：(41,85) (72,38) (80,69) (65,68) (96,22) (49,67) (51,61) (63,87) (66,24) (80,83) (71,60) (64,52) (90,60) (49,31) (23,99) (94,11) (25,24) (51,15) (13,39) (67,97) (19,76) (12,33) (99,18) (92,35) (74,0) (95,71) (39,33) (39,32) (37,45) (57,71) (95,5) (71,24) (86,8) (51,54) (74,24) (75,70) (33,63) (29,99) (58,94) (52,13) (35,99) (46,57) (71,23) (17,3) (94,48) (77,18) (83,11) (83,25) (59,62) (2,78) (86,7) (94,65) (80,32) (39,84) (60,65) (72,61) (58,84) (8,72) (12,19) (47,49) (49,59) (71,52) (34,22) (21,20) (92,33) (80,39) (74,9) (28,97) (100,93) (29,25) (4,66) (79,81) (98,21) (91,62) (82,4) (59,100) (34,1) (51,80) (92,69) (77,39) (38,97) (51,34) (35,19) (22,1) (67,9) (90,31) (82,11) (51,84) (78,70) (74,42) (100,88) (53,80) (57,62) (32,51) (48,63) (92,46) (4,61) (31,98) (69,52) (88,20)
- 運行得空間內最接近點對爲：
點：(71,24) 點：(71,23)
兩點之間距離爲 1
- 設計及測試過程
第一步：提出問題；
第二步：問題轉換；
第三步：算法構思；
第四步：僞碼描述；
第五步：代碼編寫；
第六步：代碼測試；
第七步：代碼修正；
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 100
struct node
{
float x;
float y;
}a[N],b[N],c[N],t[1],q[2],p[2],o[2];
int main()
{
int i,r,j=0,k=0;
float d,dmin1=200,dmin2=200,dmin;
for(i=0;i<N;i++)
{
a[i].x=rand()%101;
a[i].y=rand()%101;
}
cout<<"隨機生成空間內100個點分別爲"<<endl;
for(i=0;i<N;i++)
cout<<"("<<a[i].x<<","<<a[i].y<<") ";
for(i=0;i<N;i++)
{
if(a[i].x<50)
{
b[j]=a[i];
j++;
}
else
{
c[k]=a[i];
k++;
}
}
for(i=0;i<j;i++)
{
for(r=i+1;r<j;r++)
{
d=sqrt((b[i].x-b[r].x)*(b[i].x-b[r].x)+(b[i].y-b[r].y)*(b[i].y-b[r].y));
if(d<dmin1)
{
dmin1=d;
p[0]=b[i];
p[1]=b[r];
}
}
}
for(i=0;i<k;i++)
{
for(r=i+1;r<k;r++)
{
d=sqrt((c[i].x-c[r].x)*(c[i].x-c[r].x)+(c[i].y-c[r].y)*(c[i].y-c[r].y));
if(d<dmin2)
{
dmin2=d;
q[0]=c[i];
q[1]=c[r];
}
}
}
if(dmin1<dmin2)
{
dmin=dmin1;
o[0]=p[0];
o[1]=p[1];
}
else
{
dmin=dmin2;
o[0]=q[0];
o[1]=q[1];
}
for(i=0;i<j;i++)
if((b[i].x-50)*(b[i].x-50)<dmin*dmin)
{
for(r=0;r<k;r++)
{
if((c[r].x-50)*(c[r].x-50)<dmin*dmin&&(c[r].y-b[i].y)*(c[r].y-b[i].y)<dmin*dmin)
{
d=sqrt((b[i].x-c[r].x)*(b[i].x-c[r].x)+(b[i].y-c[r].y)*(b[i].y-c[r].y));
if(d<dmin)
{
dmin=d;
o[0]=b[i];
o[1]=c[r];
}
}
}
}
cout<<endl<<"空間內最接近點對爲"<<endl;
for(i=0;i<2;i++)
cout<<"點：("<<o[i].x<<","<<o[i].y<<") ";
cout<<endl<<"兩點之間距離爲 ";
cout<<dmin;
system("pause");
return 0;
}