平面的表示。
通常用點法式（p0,n）來描述一個平面。其中點p0是平面的一個點，向量n是平面的法向量。每個平面把空間分成了兩個部分，我們可以用點法式表示其中一個半空間。具體是哪一個呢?是這個法向量所背離的那一個（即法向量指向遠離半空間的方向）。
既然是法向量，n就垂直於平面上的所有直線。換句話說，平面上的任意點p滿足Dot(n,p-p0)=0.
設點p的座標爲（x，y，z），p0的座標爲（x0，y0，z0），向量n的座標表示爲（A，B，C），上述等式等價於
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
整理得 Ax+By+Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = 0.如果令D=-(Ax0 + B0 + Cz0)，我們就得到了平面的一般式：
Ax+By+Cz+D=0.
注意，當Ax+By+Cz+D>0時，上述點積大於0，即點(x,y,z)在半空間(p0,n)外。換句話說，Ax+By+Cz+D>0 表示的是一個半空間（half space）,A,B,C,D乘-1得到翻轉後的平面。
平面： ax + by + cz = d
//平面 ax+by+cz=d
struct Plane
{
double a, b, c, d;
};
過定點垂直於定直線的平面。平面的法向量就是這條直線，所以可以直接寫出所求平面的點法式。
直線與平面的夾角、兩平面的夾角、兩直線的夾角。注意到與平面的夾角可以轉化爲與法向量的夾角。兩平面的夾角等於這兩個平面的法線的夾角。
點到平面的距離。把向量p-p0投影到向量n上可得：p到平面的有向距離爲Dot（p-p0,n）/Length(n)。這是一個相當簡潔的結論。如果n是單位向量，甚至會更簡單。
點p到平面p0-n的距離。n必須爲單位向量。
double DistancetoPlane(const Point3 &p, const Point3 &p0, const Vector3 &n)
{
return fabs(Dot(p-p0, n)); //如果不取絕對值，得到的是有向距離
}
-點到平面的投影。
有了距離，投影點本身就不難求了。設點p在平面(p0,n)上的投影爲p'，則p'-p=dn，其中d就是p到平面的有向距離。
點p到平面p0-n的距離。n必須爲單位向量。
注意此處的小技巧，求d的時候沒有取絕對值。因爲不確定p的位置。
Point3 getPlaneProjection(const Point3 &p, const Point3 &p0, const Vector3 &n)
{
return p - n*Dot(p-p0, n);
}
直線與平面的交點。可以簡單的通過解方程得到。設平面方程爲Dot（n，p-p0）=0，過點p1和p2的直線的參數方程爲p=p1+t(p2-p1)
則與平面方程聯立解得：
t=Dot(n,p0-p1) / Dot(n,p2-p1)
其中分母爲0的情況對應於直線與平面平行，或者直線在平面上，如何區分？只要判斷p1或者p2是否在平面上即可。
直線p1-p2到平面p0-n的交點。假定交點唯一存在。
Point3 LinePlaneIntersection(const Point3 &p1,const Point3 &p2, const Point3 &p0, const Vector3 &n)
{
double t;
Vector3 v;
v = p2-p1;
t = Dot(n, p0-p1) / Dot(n, v); //判斷分母是否爲0
return p1 + v*t; //如果是線段，判斷t是不是在0和1之間
}
順便提一下:如果平面用一般式Ax+By+Cz+D = 0，則聯立解出的表示式爲：
t= (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (A(x1-x2) + B(y1-y2) +C(z1-z2))
過不共線三點的平面。法向量爲Cross（p2-p0,p1-p0）,任取一個點即可得到平面的點法式。
平面的旋轉。旋轉到水平平面，即法向量爲（0，0，sqrt(a*a + b*b +c*c)）
首先繞z軸旋轉，得到(0, sqrt(a*a + b*b), c) 然後繞x軸旋轉 ，得到法向量(0,0,sqrt(a*a + b*b +c*c))
對點做旋轉：
繞z軸旋轉： x' = xcosC - ysinC; y' = xsinC + ycosC; z' = z
繞x軸旋轉：x' = x;y' = ycosA - zsinA; z' =ysinA + zcosA
繞y軸旋轉： x' = zsinB + xcosB, y' = y; z' = zcosB - xsinB
其中角度爲平面法向量逆時針旋轉的角度，就等於平面上的點（一般對向量做旋轉，即點與原點相連形成的向量）所旋轉的角度。通過公式就可以得到旋轉後的點了。
void Rotation(Point3 *P, int n, const Plane &p)
{
int i;
double x, y, z, b, c, cosC, sinC;
//繞z軸旋轉
b = sqrt(p.a*p.a + p.b*p.b);
if(dcmp(b) == 0) //已經水平，不需要旋轉了
return;
cosC = p.b / b; //向量逆時針旋轉角度的cos值
sinC = p.a / b; //向量逆時針旋轉角度的sin值
for(i = 0; i < n; i++)
{
x = P[i].x*cosC - P[i].y*sinC;
y = P[i].x*sinC + P[i].y*cosC;
z = P[i].z;
P[i] = Point3(x, y, z);
}
//繞x軸旋轉
c = sqrt(b*b + p.c*p.c);
cosC = p.c / c;
sinC = b / c;
for(i = 0; i < n; i++)
{
x = P[i].x;
y = P[i].y*cosC - P[i].z*sinC;
z = P[i].y*sinC + P[i].z*cosC;
P[i] = Point3(x, y, z);
}
}