概念
AOE網對應研究實際問題是工程的工期問題：（1）完成一項工程至少需要多少時間？（2）哪些活動是影響整個工程進度的關鍵？
如果在有向圖中用頂點表示事件，用弧表示活動，用弧上的權表示活動持續時間，則稱該帶權有向圖(即有向網)爲邊表示活動的網(activity on edge network)，簡稱AOE網。如下圖所示：
AOE網中的事件與活動有如下兩個重要性質：
1、只有在某頂點所代表的事件發生後，從該頂點出發的各活動才能開始；
2、只有在進入某頂點的各活動都結束，該頂點所代表的事件才能發生。
由於一個工程只可能有一個開始點和一個完成點，故正常情況（無環）下，網中只可能有一個入度爲0的節點（稱爲源點）和一個出度爲0的節點（稱爲匯點）。
通常在一個工程中一些活動可以並行地進行，另一些活動則需要等待前面所有的活動完成後才能開始（因此，這裏還涉及到事件的拓撲排序），所以完成整個工程的最短時間應該是從開始點到結束點的最長路徑的長度（指的是活動持續時間之和，而非弧的數目）。路徑長度最長的那條路徑叫做關鍵路徑，關鍵路徑上的活動稱爲關鍵活動。因此，提前完成非關鍵活動並不能加快工程的進度。
與關鍵活動有關的量
如果我們用e(i)標識活動a(i)的最早開始時間，l(i)表示活動a(i)的最遲開始時間（這是在不推遲整個工程完成的前提下活動a(i)的最遲必須開始的時間），兩者之差l(i) - e(i)意味着活動a(i)的時間餘量。僅當活動a(i)滿足條件l(i) == e(i)（即活動的時間餘量爲0）時表示爲關鍵活動。
因此，要獲得工程的關鍵路徑就是找出滿足條件l(i) == e(i)的所有活動（一個工程中可能存在多條關鍵路徑）。
爲了求得活動的e(i)和l(i)，首先應求得事件的最早發生時間ve(j)，和最遲發生時間vl(j)。如果活動a(i)由弧<j, k>表示，其持續時間記爲dut(<j, k>)，則滿足如下關係式：
e(i) = ve(j)
l(i) = vl(k) - dut(<j, k>)
事件的最早發生時間ve(j)：是指從始點開始到頂點（事件）j的最大路徑長度。這個長度決定了所有從頂點j出發的活動能夠開工的最早時間。
從開始點往後遞推求取：
ve(0) = 0; ve(j) = Max{ve(i) + dut(<i, j>) }, 其中<i, j>∈T, j = 1, 2, ..., n -1; T爲節點j的入度邊集合。
事件最遲發生時間vl(j)：是指在不推遲整個工期的前提下,事件j允許的最晚發生時間。
從結束點往前遞推求取：
vl(n - 1) = ve(n - 1); vl(i) = Min{vl(j) - dut(<i, j>)},其中<i, j>∈S, i = n - 2, ..., 0; S爲節點i的出度邊集合。
示例
利用Guava的graph數據結構求得如下所示工程圖的關鍵路徑。graph的使用相關介紹請參考：圖論（2）：Guava中Graph模塊(wiki翻譯)
1、構建示例圖AOE網的數據結構：
MutableValueGraph<String, Integer> graph = ValueGraphBuilder.directed()
.nodeOrder(ElementOrder.insertion())
.expectedNodeCount(10)
.build();
graph.putEdgeValue(V1, V2, 6);
graph.putEdgeValue(V1, V3, 4);
graph.putEdgeValue(V1, V4, 5);
graph.putEdgeValue(V2, V5, 1);
graph.putEdgeValue(V3, V5, 1);
graph.putEdgeValue(V4, V6, 2);
graph.putEdgeValue(V5, V7, 9);
graph.putEdgeValue(V5, V8, 7);
graph.putEdgeValue(V6, V8, 4);
graph.putEdgeValue(V7, V9, 2);
graph.putEdgeValue(V8, V9, 4);
Log.i(TAG, "graph: " + graph);
輸出：
nodes: [v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9],
edges: {<v1 -> v4>=5, <v1 -> v2>=6, <v1 -> v3>=4,
<v2 -> v5>=1, <v3 -> v5>=1, <v4 -> v6>=2, <v5 -> v8>=7,
<v5 -> v7>=9, <v6 -> v8>=4, <v7 -> v9>=2, <v8 -> v9>=4}
2、獲取該有向圖的拓撲排序列表：
/**
* 利用Traverser接口將graph進行拓撲排序topologically，此處返回的逆拓撲排序
*/
Iterable<String> topologicallys = Traverser.forGraph(graph)
.depthFirstPostOrder(startNode);
Log.i(TAG, "topologically: " + format(topologicallys));
輸出：
topologically: {v9,v8,v6,v4,v7,v5,v2,v3,v1} //這裏是逆序
3、遞推求得ve(j)值：
//獲取ve(i)
Map<String, Integer> ves = getVeValues(graph, topologicallys);
Log.i(TAG, "ves: " + format(ves));
/**
* ve(j) = Max{ve(i) + dut(<i,j>) }; <i,j>屬於T，j=1,2...,n-1
* @param graph
* @param topologicallys
* @return
*/
private static Map<String, Integer> getVeValues(ValueGraph<String, Integer> graph,
Iterable<String> topologicallys) {
List<String> reverses = Lists.newArrayList(topologicallys.iterator());
Collections.reverse(reverses); //將逆拓撲排序反向
Map<String, Integer> ves = new ArrayMap<>(); //結果集
//從前往後遍歷
for (String node : reverses) {
ves.put(node, 0); //每個節點的ve值初始爲0
//獲取node的前趨列表
Set<String> predecessors = graph.predecessors(node);
int maxValue = 0;
//找前趨節點+當前活動耗時最大的值爲當前節點的ve值
for (String predecessor : predecessors) {
maxValue = Math.max(ves.get(predecessor) +
graph.edgeValueOrDefault(predecessor, node, 0), maxValue);
}
ves.put(node, maxValue);
}
return ves;
}
輸出：
ves: {v1:0, v2:6, v3:4, v4:5, v5:7, v6:7, v7:16, v8:14, v9:18}
4、遞推求得vl(j)值：
/**
* vl(i) = Min{vl(j) - dut(<i,j>}; <i,j>屬於S，i=n-2,...,0
* @param graph
* @param topologicallys
* @param vels
* @return
*/
private static Map<String, Integer> getVlValues(ValueGraph<String, Integer> graph,
Iterable<String> topologicallys, Map<String, Integer> vels) {
Map<String, Integer> vls = new ArrayMap<>(); //結果集
//從後往前遍歷
for (String node : topologicallys) {
//獲取node的後繼列表
Set<String> successors = graph.successors(node);
int initValue = Integer.MAX_VALUE; //初始值爲最大值
if (successors.size() <= 0) { //表示是結束點，賦值爲ve值
initValue = vels.get(node);
}
vls.put(node, initValue);
int minValue = initValue;
//找後繼節點-當前活動耗時最少的值爲當前節點的vl值
for (String successor : successors) {
minValue = Math.min(vls.get(successor) -
graph.edgeValueOrDefault(node, successor, 0), minValue);
}
vls.put(node, minValue);
}
return vls;
}
輸出：
vls: {v1:0, v2:6, v3:6, v4:8, v5:7, v6:10, v7:16, v8:14, v9:18}
5、根據前面求取的ve(j)和vl(j)來找出關鍵活動（判斷條件：ve(j) == vl(k) - dut(<j,k>)）：
/**
* 判斷條件：ve(j) == vl(k) - dut(<j,k>)
*/
//關鍵活動結果集
List<EndpointPair<String>> criticalActives = new ArrayList<>();
//返回圖中所有活動(邊)
Set<EndpointPair<String>> edgs = graph.edges();
//遍歷每一條邊（活動），過濾出：ve(j) == vl(k) - dut<j, k>
for (EndpointPair<String> endpoint : edgs) {
final int dut = graph.edgeValueOrDefault(endpoint.nodeU(), endpoint.nodeV(), 0);
//ve(j) == vl(k) - dut<j, k>
if (vls.get(endpoint.nodeV()) - dut == ves.get(endpoint.nodeU())) {
criticalActives.add(endpoint);
}
}
Log.i(TAG, "critical actives: " + format(criticalActives));
輸出：
critical actives: {<v1 -> v2>, <v2 -> v5>, <v5 -> v8>, <v5 -> v7>,
<v7 -> v9>, <v8 -> v9>}
從輸出可知，圖中存在兩條關鍵路徑：{<v1 -> v2>, <v2 -> v5>, <v5 -> v8>, <v8 -> v9>} 和 {<v1 -> v2>, <v2 -> v5>, <v5 -> v7>, <v8 -> v9>}(在示例圖中使用紅色線段標註)。因此，縮短這兩條路徑上活動的工期，將能有效的縮短整個工程的工期。
關鍵路徑詳細代碼參見Demo：GH-Demo-CriticalPath。