取自 知乎@馬同學，在此表示感激，侵刪。
從數學上講，卷積就是一種運算。
某種運算，能被定義出來，至少有以下特徵：
-
首先是抽象的、符號化的
-
其次，在生活、科研中，有着廣泛的作用
比如加法：
- a+ba+b，是抽象的，本身只是一個數學符號
- 在現實中，有非常多的意義，比如增加、合成、旋轉等等
卷積，是我們學習高等數學之後，新接觸的一種運算，因爲涉及到積分、級數，所以看起來覺得很複雜。
1 卷積的定義
我們稱 
其連續的定義爲：
(f∗g)(n)=∫∞−∞f(τ)g(n−τ)dτ(f∗g)(n)=∫−∞∞f(τ)g(n−τ)dτ
其離散的定義爲：
(f∗g)(n)=∑−∞∞f(τ)g(n−τ)(f∗g)(n)=∑−∞∞f(τ)g(n−τ)
這兩個式子有一個共同的特徵：
這個特徵有什麼意義？
我們令 x=τ,y=n−τx=τ,y=n−τ ，那麼 x+y=nx+y=n 就是下面這些直線：
只看數學符號，卷積是抽象的，不好理解的，但是，我們可以通過現實中的意義，來習慣卷積這種運算，正如我們小學的時候，學習加減乘除需要各種蘋果、糖果來幫助我們習慣一樣。
我們來看看現實中，這樣的定義有什麼意義。
2 離散卷積的例子：丟骰子
我有兩枚骰子：
把這兩枚骰子都拋出去：
求：兩枚骰子點數加起來爲4的概率爲多少?
這裏問題的關鍵是，兩個骰子加起來要等於4，這正是卷積的應用場景。
我們把骰子各個點數出現的概率表示出來：
那麼，兩枚骰子點數加起來爲4的情況有：
因此，兩枚骰子點數加起來爲4的概率爲：
f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)
符合卷積的定義，把它寫成標準的形式就是：
(f∗g)(4)=∑m=13f(4−m)g(m)(f∗g)(4)=∑m=13f(4−m)g(m)
3 連續卷積的例子：做饅頭
樓下早點鋪子生意太好了，供不應求，就買了一臺機器，不斷的生產饅頭。
假設饅頭的生產速度是 f(t)f(t)，那麼一天後生產出來的饅頭總量爲：
∫240f(t)dt∫024f(t)dt
饅頭生產出來之後，就會慢慢腐敗，假設腐敗函數爲 g(t)g(t) ，比如，10個饅頭，24小時會腐敗：
10∗g(t)10∗g(t)
想想就知道，第一個小時生產出來的饅頭，一天後會經歷24小時的腐敗，第二個小時生產出來的饅頭，一天後會經歷23小時的腐敗。
如此，我們可以知道，一天後，饅頭總共腐敗了：
∫240f(t)g(24−t)dt∫024f(t)g(24−t)dt
這就是連續的卷積。
4 圖像處理
4.1 原理
有這麼一副圖像，可以看到，圖像上有很多噪點：
高頻信號，就好像平地聳立的山峯：
看起來很顯眼。
平滑這座山峯的辦法之一就是，把山峯刨掉一些土，填到山峯周圍去，用數學的話來說，就是把山峯周圍的高度平均一下。
平滑後得到：
4.2 計算
卷積可以幫助實現這一平滑算法。
有噪點的原圖，可以把它轉爲一個矩陣：
然後用下面這個平均矩陣（說明下，原圖的處理實際上用的是正態分佈矩陣，這裏爲了簡單，就用了算術平均矩陣）來平滑圖像。
g=⎡⎣⎢⎢⎢191919191919191919⎤⎦⎥⎥⎥g=[191919191919191919]
記得剛纔說過的算法，把高頻信號與周圍的數值平均一下就可以平滑山峯。
比如我要平滑 a1,1a1,1 點，就在矩陣中，取出 a1,1a1,1 點附近的點組成矩陣 ff , 和 gg 進行卷積計算後，再填回去：
要注意一點，爲了運用卷積，gg 雖然和 ff 同緯度，但下標有點不一樣：
我用一個動圖來說明下計算過程：
寫成卷積公式就是：
(f∗g)(1,1)=∑k=02∑h=02f(h,k)g(1−h,1−k)(f∗g)(1,1)=∑k=02∑h=02f(h,k)g(1−h,1−k)
要求 C4,5C4,5 ，一樣可以套用上面的卷積公式。
(f∗g)(m,n)=∑k=m−1m+1∑h=n−1n+1f(h,k)g(m−h,n−k)(對於3∗3的卷積核)(f∗g)(m,n)=∑k=m−1m+1∑h=n−1n+1f(h,k)g(m−h,n−k)(對於3∗3的卷積核)
這相當於實現了 gg 這個矩陣在原來圖像上的滑動（準確來說這幅圖把 gg 矩陣旋轉了 180∘180∘ ）：
