圖像降噪，是最簡單也是最基礎的圖像處理逆問題（inverse problem）。
大多數情況下，圖像降噪都是ill-posed的問題。因爲通過有噪音的觀察，總是無法逆向求得唯一正確的乾淨圖片。就好像讓你解一個超越方程一樣，不借助其他額外的條件信息，是沒有唯一解的。
降噪問題（這裏只討論additive noise），用最簡單的數學語言一句話就可以描述清楚：
y = x + e
y是你觀察到的帶噪音的圖像，e是噪音，x是乾淨無噪音的圖像。只已知y，外加e的概率分佈，降噪問題需要你去尋找最接近真實值的x。
說起來降噪問題如此簡單明瞭，但自從信號處理開宗立派起，研究人員一直在孜孜不倦地提出各種降噪算法。我最早也沒搞懂，大家何必糾結於這麼簡單的問題，而不去考慮更復雜，更貼近實際的花哨應用？
然而世間萬物的規律，萬變不離其中：不管多複雜問題，其本質往往都有簡單的起源。而看似簡單的問題，往往卻是高手一身修行的追求：就好像考察一個書法家功力，看他寫一個永字就好；看一個川菜廚師功力，看他做一道開水白菜就好。
科研之道和其他道也類似，簡單的任務見到的是這個approach的潛力：這僅僅是起點，而不是終點。一個好的科研者應該要着眼於起點，追求問題的本源，然後拓展到未來，此爲道。只追求花哨的應用，拼湊堆疊，捨本求末甚至本末倒置，只能爲術。
好吧，扯遠了。我就是想說，圖像降噪問題，最簡單也最困難。
那麼要怎麼解好這個逆問題呢？
降噪的本質，是要從觀測值中分離噪音，保留圖像。算法的關鍵，是要掌握並藉助於圖像本身獨特的性質和結構。具體用什麼性質，這個流派就多了，我在這裏就先提供一個不完全總結，關於近期的一些好的圖像降噪算法。
根據算法利用了什麼圖像性質，或者用到的手段，我大概把各種算法分成如下幾類：
- 濾波類
- 稀疏表達類
- 外部先驗
- 聚類低秩
- 深度學習
我根據我的瞭解，對於每一個類比總結了一個常見算法列表。
入選的算法要滿足：1.近期(05年以後)提出的算法，2.有可復現的代碼提供，3.可以得到很好，或者接近state-of-the-art的效果。
由於我的水平有限，希望同行高手來幫這個public repo添磚加瓦。
以下是可復現的圖像降噪算法列表，包含了簡要的算法介紹，若想了解算法詳情，可在該鏈接中查看：https://github.com/wenbihan/reproducible-image-denoising-state-of-the-art
Filter
NLM
A non-local algorithm for e denoising (CVPR 05), Buades et al.
BM3D
Image restoration by sparse 3D transform-domain collaborative filtering (SPIE Electronic Imaging 2008), Dabov et al.
PID
Progressive Image Denoising (TIP 2014), C. Knaus et al.
Sparse Coding
KSVD
Image Denoising Via Sparse and Redundant Representations Over Learned Dictionaries (TIP 2006), Elad et al.
LSSC
Non-local Sparse Models for Image Restoration (ICCV 2009), Mairal et al.
NCSR
Nonlocally Centralized Sparse Representation for Image Restoration (TIP 2012), Dong et al.
OCTOBOS
Structured Overcomplete Sparsifying Transform Learning with Convergence Guarantees and Applications (IJCV 2015), Wen et al.
GSR
Group-based Sparse Representation for Image Restoration (TIP 2014), Zhang et al.
Effective Prior
EPLL
From Learning Models of Natural Image Patches to Whole Image Restoration (ICCV2011), Zoran et al.
GHP
Texture Enhanced Image Denoising via Gradient Histogram Preservation (CVPR2013), Zuo et al.
PGPD
Patch Group Based Nonlocal Self-Similarity Prior Learning for Image Denoising (ICCV 2015), Xu et al.
PCLR
External Patch Prior Guided Internal Clustering for Image Denoising (ICCV 2015), Chen et al.
Low Rank
SAIST
Nonlocal image restoration with bilateral variance estimation: a low-rank approach (TIP2013), Dong et al.
WNNM
Weighted Nuclear Norm Minimization with Application to Image Denoising (CVPR2014), Gu et al.
Multi-channel Weighted Nuclear Norm
Multi-channel Weighted Nuclear Norm Minimization for Real Color Image Denoising (ICCV 2017), Xu et al.
Deep Learning
SF
Shrinkage Fields for Effective Image Restoration (CVPR 2014), Schmidt et al.
TNRD
Trainable nonlinear reaction diffusion: A flexible framework for fast and effective image restoration (TPAMI 2016), Chen et al.
DnCNN
Beyond a Gaussian Denoiser: Residual Learning of Deep CNN for Image Denoising (TIP2017), Zhang et al.
Combined with High-Level Tasks
Meets High-level Tasks
When Image Denoising Meets High-Level Vision Tasks: A Deep Learning Approach (Arxiv2017), Ding Liu, Bihan Wen, Xianming Liu, Thomas S. Huang.
Benchmark
Darmstadt
Benchmarking Denoising Algorithms with Real Photographs (CVPR 2017), Tobias Plotz, Stefan Roth.
下面對於這幾類算法的一些簡略地解釋：
濾波類：相對比較傳統的一類算法，通過設計濾波器對圖像進行處理。特點是速度往往比較快，很多卷積濾波可以藉助快速傅里葉變化來加速。近期的一些算法例如BM3D也結合了一些block matching來利用圖片的self-similarity，達到了很棒的效果。
稀疏表達類：自然圖片之所以看起來不同於隨機噪音/人造結構，是因爲大家發現他們總會在某一個模型（synthesis model或者analysis model）下存在稀疏表達。而我們想排除的噪音往往無法被稀疏化。基於這個判別式模型（discriminative model），用稀疏性來約束自然圖像，在很多逆問題裏取得了拔羣的效果。
外部先驗（external prior）：如果從有噪音的圖片本身無法找到規律，我們也可以藉助其他類似但又沒有噪音的圖片，來總結圖片具有的固有屬性。這一類方法利用的外部圖片來創造先驗條件，然後用於約束需要預測的圖片。最有代表性的工作，就是混合高斯模型（Gaussian Mixture Model）。嚴格來說，基於深度學習的算法也可以歸於這個類。
聚類低秩（Low-Rankness）：除了可稀疏性，低秩性也是自然圖片常見的一個特性。數學上，可稀疏表達的數據可以被認爲是在Union of low-dimensional subspaces；而低秩數據則是直接存在於一個Low-dimensional subspace。這個更嚴格的限制往往也可以取得很好的降噪效果。
深度學習（Deep Learning）：這類可以歸於外部先驗的子類，但由於近期大熱，我單獨拿出來說說。如果說解決逆問題的關鍵，是尋找一個好的圖像約束器（regularizer），那麼我們爲什麼不用一個最好的約束器？深度學習方法的精髓，就在於通過大量的數據，學習得到一個高複雜度（多層網絡結構）的圖片約束器，從而將學習外部先驗條件這一途徑推到極限。近期的很多這類工作，都是沿着這一思路，取得了非常逆天的效果。
根據我的經驗，基本上主流的圖像降噪算法，都可以被放到這上面的5種類型中。
具體論文下載和代碼見：https://github.com/clxiao/Image-Denoising-State-of-the-art