【線性系統】五、穩定性

原創

丧气小朋友

2018-12-13 19:16

線性系統總能被分解成零輸入響應和零狀態響應。通常我們分開來研究這兩種響應的穩定性。

對於零狀態響應（zero state），我們有BIBO(bounded-input bounded-output)穩定。

對於零輸入響應（zero input），我們有邊緣穩定(marginal)和近似穩定(asymptotic)。

BIBO穩定

一個SISO LTI 因果系統可被表示爲：（初始狀態下relaxed）

$y(t) = \int_{t}^{0}g(t-\tau)u(\tau)d\tau = \int_{t}^{0}g(\tau)u(t-\tau)d\tau$ （1）

其中爲脈衝響應。

BIBO穩定：對於零狀態響應，所有有界輸入都會變成有界輸出。

定理一：

一個SISO系統被描述爲BIBO穩定，當且僅當在 $[0,\infty)$ 爲絕對可積的，或者：

$\int_{0}^{\infty} \left | g(t) \right |dt \leqslant M< \infty$

定理二：

如果系統響應是BIBO穩定的，那麼當 $t\rightarrow \infty$ :

1. 輸入爲產生的輸出，對所有 $t\geq 0$ 接近 $\hat{g}(0)\cdot a$ ;

2.輸入爲 $u(t) = sin\omega _0t$ 產生的輸出，對所有的 $t\geq 0$ 接近 $\left | \hat{g}(j\omega _0) \right |sin(\omega_0t+\measuredangle \hat g(j\omega_0))$ ，

其中 $\hat g(s)$ 是的拉普拉斯變換， $\hat g(s) = \int_{0}^{\infty}g(\tau)e^{-s\tau}d\tau$ 。

定理三：

一個有有理轉移函數 $\hat g(s)$ SISO系統是BIBO 穩定當且僅當 $\hat g(s)$ 的每個極點有負實部或者在左半平面。

例一：
一個正反饋系統的脈衝響應爲 $g(t) = \sum_{i = 1} ^{\infty} a^i \delta (t-i)$ ，可以爲正或負。我們有：

$\left | g(t) \right |= \sum_{i = 1} ^{\infty} \left | a \right |^i \delta (t-i)$ 且 $\int_{0}^{\infty} \left| g(t) \right |dt = \sum_{i=1}^{\infty} \left|a\right|^i = \begin{cases} \infty & \text{ if } \left|a\right|\geq 1\\ |/(1-\left|a\right|) <\infty& \text{ if } \left|a\right|< 1 \end{cases}$

推廣：

多變量系統；

定理一：每個脈衝響應在 $[0,\infty)$ 都絕對可積.

定理三： $\hat g(s)$ 的每個極點有負實部或者在左半平面。

例二：

有狀態方程：

$\dot x (t) = x(t) + 0\cdot u(t)$ ，

轉移函數： $\hat g(s) = 0.5(s-1)^(-1)\cdot 0 +0.5 = 0.5$

所以它是BIBO穩定。

離散系統：

一個SISO系統被描述爲：

$y[k] = \sum g[k-m]u[m] = \sum_{m=0}^{k}g[m]u[k-m]$

定理一：一個離散系統當且僅當在 $[0,\infty)$ 絕對可加或者存在常數使 $\sum_{k=0}^{\infty}\left | g[k]\right |\leq M<\infty$ 成立。

定理二：如果脈衝響應序列是BIBO穩定的，那麼當 $k\rightarrow \infty$ :

1. 輸入爲產生的輸出，對所有 $k\geq 0$ 接近 $\hat{g}(1)\cdot a$ ;

2.輸入爲 $u(k) = sin\omega _0k$ 產生的輸出，對所有的 $k\geq 0$ 接近 $\left | \hat{g}(j\omega _0) \right |sin(\omega_0k+\measuredangle \hat g(j\omega_0))$ ，

這裏 $\hat g(z)$ 是的z變換， $\hat g(z) = \sum_{m=0}^{\infty}g[m]z^{-m}$

定理三：具有有理轉系函數 $\hat g(z)$ 的離散SISO系統，當且僅當 $\hat g(z)$ 的每個極點的大小都小於1時BIBO穩定。