柔性臂是當前機器人領域一個比較熱的研究方向，國內外高校如MIT、Stanford、JHU和我校、上交、中科大、北航等等都有做研究。大致可以分爲三類：氣驅/繩驅，超彈性材料，智能材料（DE/EAP/SMA）。大多也集中在仿生方面的研究，比如象鼻型、章魚臂型等等，屬於機械/生物/計算機/電子/控制（強行加上我們控制）的交叉領域。
建立這類氣驅型柔性臂的模型具有一定複雜性，因爲要完整精確地描述橫向/縱向肌肉的運動和相互影響的機理，不過這論文都是十多年前的了，現在嘛。。。。。。
完整地描述肌纖維的運動及對其他肌纖維的影響，理想。。理想。。。一種oft model是把章魚臂看作一系列定容圓柱，每個圓柱能變直徑變長度；另一種是看作一系列的腔管，能在兩個方向上彎曲。
把整個柔性臂分解成一系列變直徑的部分首尾連接起來。這種模型描述運動機理效果比較好。具體地說，也是看作一系列定容圓柱，通過對生物肌肉實際測量得到一些參數，能夠很好地預測章魚臂在一次捕食行爲中肌肉的動作，但是這種模型，按照原文說，主要描述了單關節臂杆的行爲，而不是整個完整機械臂的功能。（有一點點懵逼，論文也沒細講）
在一定的假設條件下，能更好地闡述章魚臂的運動機理，也是實際應用最多的一種。假設機械臂以恆定曲率彎曲且不能扭轉（這假設下當然更容易分析了。。）當然好處也很明顯，可以化簡爲一系列旋轉關節和位移關節，直接用DH參數法，經典的機器人控制理論和算法也可以套用。Clemson University的Elephant Trunk manipulator和Air-Octor single manipulator的分析都是基於這種模型。
這個柔性臂由中間的軟管和外部保護軟管以及三個驅動的繩索組成。然後三個彎曲自由度，一個收縮自由度，也就是四自由度的柔性臂。l 1 l_1 l 1 l 2 l_2 l 2 l 3 l_3 l 3 ϕ \phi ϕ k ϕ k_{\phi} k ϕ s s s r i r_i r i ϕ \phi ϕ k ϕ k_{\phi} k ϕ s s s
r i r_i r i r i r_i r i h 1 = 0 h_1 = 0 h 1 = 0 h 2 = l 2 − l 1 2 n h_2 = \cfrac{l_2 - l_1}{2n} h 2 = 2 n l 2 − l 1 h 3 = l 3 − l 1 2 n h_3 = \cfrac{l_3 - l_1}{2n} h 3 = 2 n l 3 − l 1 h 1 h_1 h 1 h 2 h_2 h 2 h 3 h_3 h 3 h c h_c h c h c h_c h c h 2 m h_{2m} h 2 m h 3 m h_{3m} h 3 m h 2 m h_{2m} h 2 m h 3 m h_{3m} h 3 m h 2 m = l 2 − l 1 3 n h_{2m} = \cfrac{l_2 - l_1}{3n} h 2 m = 3 n l 2 − l 1 h 3 m = l 3 − l 1 3 n h_{3m} = \cfrac{l_3 - l_1}{3n} h 3 m = 3 n l 3 − l 1 h c h_c h c h c = l 3 + l 2 − 2 l 1 6 n h_{c} = \cfrac{l_3 +l_2 - 2l_1}{6n} h c = 6 n l 3 + l 2 − 2 l 1 d h c = r 1 h c + l 1 2 n \cfrac{d}{h_c} = \cfrac{r_1}{h_c + \cfrac{l_1}{2n}} h c d = h c + 2 n l 1 r 1
這樣就可以推出r1：
r 1 = d ( l 1 + l 2 + l 3 ) l 3 + l 2 − 2 l 1 r_1 = \cfrac{d(l_1 + l_2 + l_3)}{l_3 + l_2 - 2l_1} r 1 = l 3 + l 2 − 2 l 1 d ( l 1 + l 2 + l 3 )
那麼r 2 r_2 r 2 r 3 r_3 r 3
d r 2 = h c − h 2 l 1 2 n + h c \cfrac{d}{r_2} = \cfrac{h_c - h_2}{\cfrac{l_1}{2n} + h_c} r 2 d = 2 n l 1 + h c h c − h 2
d r 3 = h 3 − h c l 1 2 n + h c \cfrac{d}{r_3} = \cfrac{h_3 - h_c}{\cfrac{l_1}{2n} + h_c} r 3 d = 2 n l 1 + h c h 3 − h c
整理後可得
r 2 = d ( l 1 + l 2 + l 3 ) l 3 + l 1 − 2 l 2 r_2 = \cfrac{d(l_1 + l_2 + l_3)}{l_3 + l_1 - 2l_2} r 2 = l 3 + l 1 − 2 l 2 d ( l 1 + l 2 + l 3 )
r 3 = d ( l 1 + l 2 + l 3 ) l 1 + l 2 − 2 l 3 r_3 = \cfrac{d(l_1 + l_2 + l_3)}{l_1 + l_2 - 2l_3} r 3 = l 1 + l 2 − 2 l 3 d ( l 1 + l 2 + l 3 )
ϕ \phi ϕ k ϕ k_{\phi} k ϕ r 1 r_1 r 1 r 2 r_2 r 2 r 3 r_3 r 3 r 1 = r 1 ∠ 9 0 ο \mathrm{r_1} = r_1\angle{90^\omicron} r 1 = r 1 ∠ 9 0 ο r 2 = r 2 ∠ 21 0 ο \mathrm{r_2} = r_2\angle{210^\omicron} r 2 = r 2 ∠ 2 1 0 ο r 3 = r 3 ∠ − 3 0 ο \mathrm{r_3} = r_3\angle{-30^\omicron} r 3 = r 3 ∠ − 3 0 ο B B B r y r_y r y r y r_y r y
B = [ cos ( 21 0 ο ) sin ( 21 0 ο ) cos ( − 30 ο ) sin ( − 30 ο ) ] B = \begin{bmatrix}
\cos{(210^\omicron)} & \sin{(210^\omicron)} \\
\cos{({-30}^\omicron)} & \sin{({-30}^\omicron)} \\
\end{bmatrix} B = [ cos ( 2 1 0 ο ) cos ( − 3 0 ο ) sin ( 2 1 0 ο ) sin ( − 3 0 ο ) ]
r x = r 3 − r 2 3 r_x = \cfrac{r_3 - r_2}{\sqrt{3}} r x = 3 r 3 − r 2
r y = − r 2 − r 3 r_y = -r_2 -r_3 r y = − r 2 − r 3
然後我們就可以得到 （其實這部分不明白爲什麼這樣就得到了 ϕ \phi ϕ
ϕ = tan − 1 ( r y r x ) \phi = \tan^{-1}\left(\cfrac{r_y}{r_x}\right) ϕ = tan − 1 ( r x r y )
r ϕ = r x 2 + r y 2 r_\phi = \sqrt{{r_x}^2 + {r_y}^2} r ϕ = r x 2 + r y 2 k ϕ = 1 r ϕ k_\phi = \cfrac{1}{r_\phi} k ϕ = r ϕ 1
最後整理消除中間變量得到
k ϕ = 2 l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 1 d ( l 1 + l 2 + l 3 ) k_\phi = 2\cfrac{\sqrt{{l_1}^2 + {l_2}^2 + {l_3}^2 -l_1l_2 - l_2l_3 -l_1l_1}}{d\left(l_1 + l_2 + l_3\right)} k ϕ = 2 d ( l 1 + l 2 + l 3 ) l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 1
ϕ = tan − 1 ( 3 3 l 3 + l 2 − 2 l 1 l 2 − l 3 ) \phi = \tan^{-1}\left(\cfrac{\sqrt3}{3}\cfrac{l_3 + l_2 - 2l_1}{l_2 - l_3}\right) ϕ = tan − 1 ( 3 3 l 2 − l 3 l 3 + l 2 − 2 l 1 )
s s s 最後我們再求出柔性臂的長度，因爲前面我們是分成了n份來分析的。
l c = l 1 + l 2 + l 3 3 l_c = \cfrac{l_1 + l_2 + l_3}{3} l c = 3 l 1 + l 2 + l 3
sin β 2 = l c 2 n 1 k ϕ \sin\cfrac{\beta}{2} = \cfrac{\cfrac{l_c}{2n}}{\cfrac{1}{k_\phi}} sin 2 β = k ϕ 1 2 n l c
解得
s = 2 n k ϕ sin − 1 ( l c k ϕ 2 n ) s = \cfrac{2n}{k_\phi}\sin^{-1}\left(\cfrac{l_ck_\phi}{2n}\right) s = k ϕ 2 n sin − 1 ( 2 n l c k ϕ )
最後整理消除中間變量得
s = n d ( l 1 + l 2 + l 3 ) l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3 ⋅ sin − 1 ( l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3 3 n d ) s = \cfrac{nd(l_1 + l_2 + l_3)}{\sqrt{{l_1}^2 +{l_2}^2 + {l_3}^2 - l_1l_2 - l_2l_3 - l_1l_3}} \cdot \sin^{-1}\left( \cfrac{\sqrt{{l_1}^2 +{l_2}^2 + {l_3}^2 - l_1l_2 - l_2l_3 - l_1l_3}}{3nd}\right) s = l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3 n d ( l 1 + l 2 + l 3 ) ⋅ sin − 1 ( 3 n d l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3 )
定義 g : = l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3 g := {l_1}^2 +{l_2}^2 + {l_3}^2 - l_1l_2 - l_2l_3 - l_1l_3 g : = l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3
k ϕ = 2 g d ( l 1 + l 2 + l 3 ) k_\phi = 2\cfrac{\sqrt g}{d(l_1 + l_2 + l_3)} k ϕ = 2 d ( l 1 + l 2 + l 3 ) g
ϕ = tan − 1 ( 3 3 l 3 + l 2 − 2 l 1 l 2 − l 3 ) \phi = \tan^{-1}\left(\cfrac{\sqrt3}{3}\cfrac{l_3 + l_2 - 2l_1}{l_2 - l_3}\right) ϕ = tan − 1 ( 3 3 l 2 − l 3 l 3 + l 2 − 2 l 1 )
s = n d ( l 1 + l 2 + l 3 ) g ⋅ sin − 1 ( g 3 n d ) s = \cfrac{nd(l_1 + l_2 + l_3)}{\sqrt g} \cdot \sin^{-1}\left( \cfrac{\sqrt g}{3nd}\right) s = g n d ( l 1 + l 2 + l 3 ) ⋅ sin − 1 ( 3 n d g )
注意上式中lim g → 0 s = l 1 + l 2 + l 3 3 \lim\limits_{g \to 0}s = \cfrac{l_1 + l_2 + l_3}{3} g → 0 lim s = 3 l 1 + l 2 + l 3
以上就是一種氣驅型柔性臂的z正運動學推導，其實可以看到所運用到的數學工具除了基變換矩陣那裏以外，其他的基本上就是高中幾何代數就可以解決的……所以說有些東西乍一看上去彷彿很艱深晦澀，可是鑽研進去就會發現其實也並不很難，甚至還有點意思。另外一點收穫就是看論文的時候很容易看人家推導順着思路就覺得，哦，對，就這麼推，很簡單，就好比做題的時候看着參考答案自然覺得很簡單，但是合上答案自己做題就發現不是那麼一回事，所以看論文想要消化作者的精髓，自己推導公式是必不可少的，再一點就是要反覆讀啦。
