以前一直對MATLAB中fft（）函數的使用一直存在疑惑，爲什麼要加一
些參數，並且如何確定這些參數，也查了許多資料，但很多都感覺只是
表面一說根本沒有講清其本質。但隨着學習的推進，慢慢有所領悟，所
以打算把自己的一些所懂分享下，有什麼問題也希望大家指正。
本文主要先對DFT、FFT的一些概念進行介紹，然後通過MATLAB仿真
進行fft（）分析，從而解釋上述參數。
一、DFT與FFT
首先是對DFT與FFT的一些概念上的介紹，其實FFT與DFT是等價的，他們實現的功能是一樣的，只是FFT是DFT的算法優化，因爲畢竟要用電腦來計算，DFT算的太慢了，就優化下也就成了FFT。所以此處我們對DFT與FFT的介紹是等價的。
那麼我們就來介紹DFT，它也被叫做離散傅里葉變換，其實它就是DFS離散傅里葉級數的時域頻域主值序列，或者也是DTFT離散時間傅里葉變換的頻域採樣。至於DFS與DTFT相信大家也是明白，那麼很多人好奇爲什麼還要DFT這玩意，主要呢，還是因爲計算機，因爲計算機不可能處理無限長的信號而DFS和DTFT要麼時域無限長，要麼頻域無限長，所以就搞了個DFT。
好的，那麼我們就來直接看公式（這裏我就假想大家都對其來源及原因都清楚了）：
注意看上圖，這就是我們接下來的所有依據，X（k）是正變換，x（n）反變換，此處務必注意x（n）那個式子有個1/N，這對後面的理解很關鍵。
好的那麼接下來我們就可以利用MATLAB來進行分析了。
二、MATLAB的FFT函數使用
首先說明下什麼情況下我們要用FFT，這是很簡單的，但還是要說說：因爲現實世界都是連續的信號，相信我們要分析它時單純靠我們人算是很麻煩的，所有這些都是需要計算機進行計算，那麼答案就有了，我們其實都是處理連續信號，也就是說我們都是想要FFT來分析連續信號。
OK
1、那麼這樣FFT第一個步驟就出現了，那就是A/D轉換，也就是對連續信號採樣。而這裏我們就要確定一個參數採樣頻率Fs，說到採樣，大家肯定會想到採樣定理，其內容就是當對信號進行以採樣頻率爲Fs>=2fc的採樣時，信息不急丟失（fc爲原始連續信號的最大截止頻率），那麼這樣第一個參數Fs就這樣確定了，其應該滿足Fs>=2fc，這時採樣週期爲Ts=1/Fs。
2、既然確定了採樣頻率Fs，那麼我們就要想信號的時域應該怎麼確定，換句話說，我們將採樣好的信號給計算機處理時，應該給計算機多少個。這裏就出現了第二個參數即序列個數L，好的，在這裏由於第一個參數確定的Fs，相應的也是採樣週期Ts，所以我們就可以得出時域信號的橫座標時間的變化範圍，也就是
t=（0：L-1）Ts
那麼這裏就確定了N嗎？不，我們這裏還沒確定，對於L的確立我們需要上面這個語句的幫助。那麼究竟怎麼確定呢，這裏我們就要想到DFT的來源了：爲什麼DFT可以用來進行表示信號的頻譜響應，因爲其時域頻域都是信號的相應時域頻域的主值區間，所以說我們要用DTF可以表示這個信號時，應儘可能的包含這個信號的一個週期或整數倍週期也就是上述t的範圍應該是信號的一個週期範圍或整數倍週期範圍，否則則會發生頻譜泄露，至於頻譜泄露其實就是出現了本來沒有的頻率分量。比如說，10Hz的cos（2π10t），本來只有一種頻率分量f=10Hz，但分析結果卻包含了與10Hz頻率相近的其它頻率分量。下述將會進行仿真分析。所以說此處L的確定應是LxTs=mT（T爲信號的最小週期，m爲正整數），常常m=1。那麼或許有人問怎麼平常我看到的都不是這樣，L都是取和Fs一樣的值（注意爲了頻率分辨率爲1Hz，下文會討論）。其實對於這個也有它的道理，不妨我們推到下：
LxTs=L/Fs=1，也就是說其表達的時域t範圍爲1，那麼平常我們的信號最小週期一般都小於1的，要是當信號最小週期大於1時其就是錯誤的啦，所以這個只是對大部分來說是有用的。
那麼說了這麼多究竟怎麼確定，要是按LxTs=mT確定會不會太麻煩，確實有時我們真的不能知道確定的信號最小週期，所以這裏就放寬點，只要保證LxTs>=T就可以，當然如果可以取整數倍就最好了。
OK
可是上面說又會發生頻率泄露，這可怎麼辦？那麼這裏就只能儘可能提高N-DFT的N點啦，這樣能使儘可能更多的能量落到正確的頻率點上，也就是說這樣誤差會更小，這樣就能達到我們的目的。
3、於是第三個參數N-DFT的N就出現了，根據上述2情況，我們知道N的提高有利於提高精確的，那麼它還有其它約束嗎？答案肯定有的，這裏就需要些理論知識了：
先來了解下頻域採樣定理：頻域以N點爲採樣週期的採樣，在時域就是原序列的以週期N的延拓。
那麼這樣也就是說上述2中的序列長度L必須小於或等於N，否則就會發生時域混疊，所以說L>=N這就是限制條件，常常我們取L=N，當發生頻譜泄露比較嚴重時我們就可以考慮將L增大，這樣就可以減小頻譜泄露的的影響。
綜上，以上就是MATLAB相關的所有參數了，它們分別就採樣頻率Fs，原序列長度L，N-DFT變換的N，其主要確定關係總結如下：
Fs>=2fc（fc爲信號最高截止頻率）
LxTs>=T（T爲信號的最小週期，若能取LxTs=T則應儘可能取，可以避免頻譜泄露）
N>=L（N常常應爲2^m，因爲FFT運算就是不斷模2進行DFT，所以N爲2的次方利於提高速度）
對於其常取值，Fs=1024，N=1024，L=1024，注意滿足上述條件就好
說完了這些參數，我們就講講MATLAB的fft函數，其用法主要Y=fft（x，N），x爲原信號序列，Y爲DFT（也就是FFT）變換後的，但是大家會發現其變換後幅度變了而且變了很大，其實就是跟最初的那個式子有關，其頻域幅值增大了N倍。
並且發現其橫軸也都是整數，所以這時也要對其橫軸座標進行變換，即要乘以相應的頻率分辨率Fs/N，所以說上面爲什麼，常常也取Fs=L，N=L,這樣爲了頻率分辨率爲1Hz，對於這些我們需用以下MATLAB語句進行實現
Y=fft(x,N);%N一定到大於信號序列x的長度，不過一般等於，決不能小於
%因爲若要小於時域就會發生混疊
Y=abs(Y);
Y=Y./N;
%Y=Y.*2./N;Y(1)=Y(1)./2;若考慮將負頻率的幅度折算到正頻率時應這樣處理
%因爲變換後有個N的乘積因子的影響，根據DFT公式可知，故消除其影響
f=(0:N-1)*Fs./N;
%頻率正常化，因爲變換後橫座標是每個點對應的個數，故應轉化成實際的頻率
%由於頻譜是對稱的，且週期的故常常只畫一半如下
subplot(2,1,1);
plot(f(1:N/2),Y(1:N./2));
%當然也可以畫平常我們見到的有對稱的如下
f=f-Fs./2;
subplot(212);
plot(f,fftshift(Y));
上述代碼也有相關解釋，那麼我也就對相關幾個語句進行介紹解釋：
f=(0:N-1)*Fs./N;這是N-DFT變換後的橫軸座標，也就是真實頻率值；
Y=Y./N;這是對DFT變換後幅值處理，也就是要除於N纔是真實的幅值
%Y=Y.*2./N;Y(1)=Y(1)./2;而這個是鑑於無真實的負頻率，其與正頻率對稱的原理，把負頻率去掉，全變爲正頻率的幅值處理。
下面語句是爲了變成我們平常看到有正負頻率的圖像
f=f-Fs./2;
subplot(212);
plot(f,fftshift(Y));
三、仿真試驗
OK接下來就是仿真試驗啦。
我們直接考慮x（t）=cos（2π10t）；其週期T=0.1s，fc=10Hz
1、首先考慮Fs=512，L=512，N=512，滿足上述三個關係吧，
Fs=512>=2fc；LxTs=1s>=T（也是10T，故沒頻率泄露）；N=512>=L=512；那麼我們看下仿真結果是否對得到：
可以看到只有一個頻率，可以完全表示，故與上述推理一樣。代碼如下
Fs=512;%採樣頻率
Ts=1/Fs;%採樣週期
N=512;%N—DFT
L=512;%原信號序列長度
t=(0:L-1).*Ts;%時域自變量
x=cos(10*2*pi*t);%原信號
subplot(311);
plot(t,x);
title("原信號")
xlabel("t/s")
grid on
Y=fft(x,N);%fft變換
Y=abs(Y)./N;%實際幅值變換
f=(0:N-1)*Fs./N;%實際頻率變換
subplot(312);
plot(f(1:N/2),Y(1:N./2));
title("N-DFT變換幅頻響應單邊")
xlabel("f/Hz")
grid on
f=f-Fs./2;%移位
subplot(313);
plot(f,fftshift(Y));%移位
title("N-DFT變換幅頻響應雙邊")
xlabel("f/Hz")
grid on
2、那麼我們再來考慮Fs=512，L=128，N=128，滿足上述三個關係吧，
Fs=512>=2fc；LxTs=0.15s>=T（不是T的整數倍，故有頻率泄露）；N=128>=L=128；那麼我們看下仿真結果是否對得到（這次頻譜用stem繪製更明顯點）：
可以看到出現了些不應該出現的頻率，也驗證了我們的推論，其代碼如下：
Fs=512;%採樣頻率
Ts=1/Fs;%採樣週期
N=128;%N—DFT
L=128;%原信號序列長度
t=(0:L-1).*Ts;%時域自變量
x=cos(10*2*pi*t);%原信號
subplot(311);
plot(t,x);
title("原信號")
xlabel("t/s")
grid on
Y=fft(x,N);%fft變換
Y=abs(Y)./N;%實際幅值變換
f=(0:N-1)*Fs./N;%實際頻率變換
subplot(312);
stem(f(1:N/2),Y(1:N./2));
title("N-DFT變換幅頻響應單邊")
xlabel("f/Hz")
grid on
f=f-Fs./2;%移位
subplot(313);
stem(f,fftshift(Y));%移位
title("N-DFT變換幅頻響應雙邊")
xlabel("f/Hz")
grid on
3、那麼我們再來看下增大N點是否可以減小頻譜泄露的影響，考慮Fs=512，L=128，N=1024，滿足上述三個關係吧，
Fs=512>=2fc；LxTs=0.15s>=T（不是T的整數倍，故有頻率泄露）；N=1024>=L=128；那麼我們看下仿真結果是否對得到（這次頻譜用stem繪製更明顯點）：
很明顯可以看到與N=128時，其往所求正確頻率處更靠近集中，故增大N可以減小頻率響應的影響。代碼如下：
Fs=512;%採樣頻率
Ts=1/Fs;%採樣週期
N=1024;%N—DFT
L=128;%原信號序列長度
t=(0:L-1).*Ts;%時域自變量
x=cos(10*2*pi*t);%原信號
subplot(311);
plot(t,x);
title("原信號")
xlabel("t/s")
grid on
Y=fft(x,N);%fft變換
Y=abs(Y)./N;%實際幅值變換
f=(0:N-1)*Fs./N;%實際頻率變換
subplot(312);
stem(f(1:N/2),Y(1:N./2));
title("N-DFT變換幅頻響應單邊")
xlabel("f/Hz")
grid on
f=f-Fs./2;%移位
subplot(313);
stem(f,fftshift(Y));%移位
title("N-DFT變換幅頻響應雙邊")
xlabel("f/Hz")
grid on
4、最後看下它可不可ifft（）變回去：
這是對於1的ifft只在後面加上下述代碼：
figure
subplot(211)
plot(t,x)
title("原信號")
xlabel("t/s")
grid on
Y=fft(x);
xx=ifft(Y);
subplot(212)
plot(t,xx)
title("ifft原信號")
xlabel("t/s")
grid on
所以ifft變換時，應把一開始的N因子變回去。
對於非週期信號，其原理差不多，關鍵是時域能否儘可能取到一個週期等，或者對於無限長的信號，只能採取截取出其中最主要的信息了。
綜上，差不多就這樣了，可能多少有些問題，歡迎大家指正互相進步。