推薦系統 recommender system

使用場景

消費者$C=\{user_1,user_2,user_3,\dots,user_{n_u}\}$,一共有$n_u$個樣本

商品$G=\{prod_1,prod_2,\dots,prod_{n_p}\}$,一共有$n_p$個樣本

消費者對商品的評分如下表：

	$user_1$	$user_2$	$user_3$	$\dots$	$user_{n_u}$
$prod_1$	$r_{1,1}$	$r_{1,2}$	$r_{1,3}$	$\dots$	$r_{1,n_u}$
$prod_2$	$r_{2,1}$	$r_{2,2}$	$r_{2,3}$	$\dots$	$r_{2,n_u}$
$\dots$
$prod_{n_p}$	$r_{n_p,1}$	$r_{n_p,2}$	$r_{n_p,3}$	$\dots$	$r_{n_p,n_u}$

描述商品i在某特徵的符合程度$x_i=[f_1,f_2,\dots,f_m]^T \quad(m \times 1)$
消費者j對某個特徵的喜好程度$\theta_j=[\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_m]^T \quad (m\times 1)$

特徵的維數m將會在後面說到。

對於某個商品i，消費者j對其評分$r_{i,j}$由$x_i,\theta_j$來決定，即
$r_{i,j}=\theta_j^Tx_i$

協同過濾算法

協同過濾算法的思想是對某種特徵的喜好相同(比如都喜歡動作電影)的消費者，對在某種特徵上比較契合的商品上評價也應趨於一致(對於新出的動作電影評分都可能較高)

• 設置$m$個特徵，$f_1,f_2,\dots,f_m$,比如電影的浪漫程度，暴力程度，喜劇程度等等，這些特徵不用手工提取，只需要確定m的大小，特徵的具體值將會由算法學習得出。
  

• 對於$n_u$個消費者，$n_p$個商品，我們先初始化兩個數據集：
  
  $X=\{x_1,x_2,\dots,x_{n_p}\}$
  
  $\Theta=\{\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_{n_u}\}$
  
  隨機賦一些較小的值。
  

協同過濾算法的基本思路是：同時優化$X,\Theta$，優化目標如下：

$J(x_1,\dots,x_{n_p},\theta_1,\dots,\theta_{n_u})=\frac{1}{2}\sum_{(i,j):r(i,j)=1}(\theta_j^Tx_i-y_{i,j})^2+\frac{\lambda}{2}\sum_{i=1}^{n_p}\sum_{k=1}^{m}(x_i^{k})^2 +\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{k=1}^m(\theta_j^k)^2$
注意，這時候就不需要加上恆爲1的偏差（如之前的$x_0=1,\theta_0=1$)，這時$x \in \mathbb{R}^m,\theta \in \mathbb{R}^m$

• 使用梯度下降等方法進行優化，對$i=1,2,\dots,n_p;j=1,2,\dots,n_u;k=1,2,\dots,m$：
  $x_i^k=x_i^k-\alpha(\sum_{j:r(i,j)=1}(\theta_j^Tx_i-y_{i,j})^2 +\lambda_i^k)\\ \theta_j^k=\theta_j^k-\alpha(\sum_{i:r(i,j)=1}(\theta_j^Tx_i-y_{i,j})^2 +\lambda_i^k)$