1.算法的時間複雜度定義
在進行算法分析時，語句總的執行次數T(n)是關於問題規模n的函數，進而分析T(n)隨n的變化情況並確定T(n)的數量級。算法的時間複雜度，也就是算法的時間量度。記作：T(n)=O(f(n))。它表示隨問題n的增大，算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作算法的漸進時間複雜度，簡稱爲時間複雜度。其中，f(n)是問題規模n的某個函數。
這樣用大寫O()來體現算法時間複雜度的記法，我們稱之爲大0記法。
2.推導大O階方法
- 用常數1取代運行時間中的所有加法常數。
- 在修改後的運行次數函數中，只保留最高階項。
- 如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項目相乘的常數。得到的結果就是大O階。
3.推導示例
3.1常數階
首先順序結構的時間複雜度。下面這個算法，是利用高斯定理計算1，2，……n個數的和。
int sum = 0, n = 100; /*執行一次*/
sum = (1 + n) * n / 2; /*執行一次*/
printf("%d",sum); /*執行一次*/
這個算法的運行次數函數是f (n) =3。 根據我們推導大0階的方法，第一步就是把常數項3 改爲1。在保留最高階項時發現，它根本沒有最高階項，所以這個算法的時間複雜度爲0(1)。
另外，我們試想一下，如果這個算法當中的語句 sum = (1+n)*n/2; 有10 句，則與示例給出的代碼就是3次和12次的差異。這種與問題的大小無關（n的多少），執行時間恆定的算法，我們稱之爲具有O(1)的時間複雜度，又叫常數階。對於分支結構而言，無論是真，還是假，執行的次數都是恆定的，不會隨着n 的變大而發生變化，所以單純的分支結構(不包含在循環結構中)，其時間複雜度也是0(1)。
3.2線性階
線性階的循環結構會複雜很多。要確定某個算法的階次，我們常常需要確定某個特定語句或某個語句集運行的次數。因此，我們要分析算法的複雜度，關鍵就是要分析循環結構的運行情況。
下面這段代碼，它的循環的時間複雜度爲O(n)， 因爲循環體中的代碼須要執行n次。
int i;
for(i = 0; i < n; i++){
/*時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列*/
}
3.3對數階
如下代碼：
int count = 1;
while (count < n){
count = count * 2;
/*時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列*/
}
由於每次count乘以2之後，就距離n更近了一分。 也就是說，有多少個2相乘後大於n，則會退出循環。 由2^x=n 得到x=logn。 所以這個循環的時間複雜度爲O(logn)。
3.4平方階
下面例子是一個循環嵌套，它的內循環剛纔我們已經分析過，時間複雜度爲O(n)。
int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; j < n; j++){
/*時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列*/
}
}
而對於外層的循環，不過是內部這個時間複雜度爲O(n)的語句，再循環n次。 所以這段代碼的時間複雜度爲O(n^2)。
如果外循環的循環次數改爲了m，時間複雜度就變爲O(mXn)。
所以我們可以總結得出，循環的時間複雜度等於循環體的複雜度乘以該循環運行的次數。
那麼下面這個循環嵌套，它的時間複雜度是多少呢?
int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = i; j < n; j++){ /*注意j = i而不是0*/
/*時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列*/
}
}
由於當i=0時，內循環執行了n次，當i = 1時，執行了n-1次，……當i=n-1時，執行了1次。所以總的執行次數爲:
用我們推導大O階的方法，第一條，沒有加法常數不予考慮；第二條，只保留最高階項，因此保留時(n^2)/2; 第三條，去除這個項相乘的常數，也就是去除1/2，最終這段代碼的時間複雜度爲O(n2)。
從這個例子，我們也可以得到一個經驗，其實理解大0推導不算難，難的是對數列的一些相關運算，這更多的是考察你的數學知識和能力。
3.5立方階
下面例子是一個三重循環嵌套。
int i, j;
for(i = 1; i < n; i++)
for(j = 1; j < n; j++)
for(j = 1; j < n; j++){
/*時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列*/
}
這裏循環了(1^2+2^2+3^2+……+n^2) = n(n+1)(2n+1)/6次，按照上述大O階推導方法，時間複雜度爲O(n^3)。
4.常見的時間複雜度
常用的時間複雜度所耗費的時間從小到大依次是：
複雜度與時間效率的關係：
5.最壞情況與平均情況
我們查找一個有n 個隨機數字數組中的某個數字，最好的情況是第一個數字就是，那麼算法的時間複雜度爲O(1)，但也有可能這個數字就在最後一個位置上待着，那麼算法的時間複雜度就是O(n)，這是最壞的一種情況了。
最壞情況運行時間是一種保證，那就是運行時間將不會再壞了。 在應用中，這是一種最重要的需求， 通常， 除非特別指定， 我們提到的運行時間都是最壞情況的運行時間。
而平均運行時間也就是從概率的角度看， 這個數字在每一個位置的可能性是相同的，所以平均的查找時間爲n/2次後發現這個目標元素。平均運行時間是所有情況中最有意義的，因爲它是期望的運行時間。也就是說，我們運行一段程序代碼時，是希望看到平均運行時間的。可現實中，平均運行時間很難通過分析得到，一般都是通過運行一定數量的實驗數據後估算出來的。一般在沒有特殊說明的情況下，都是指最壞時間複雜度。
6.算法空間複雜度
我們在寫代碼時，完全可以用空間來換取時間，比如說，要判斷某某年是不是閏年，你可能會花一點心思寫了一個算法，而且由於是一個算法，也就意味着，每次給一個年份，都是要通過計算得到是否是閏年的結果。 還有另一個辦法就是，事先建立一個有2050個元素的數組(年數略比現實多一點)，然後把所有的年份按下標的數字對應，如果是閏年，此數組項的值就是1，如果不是值爲0。這樣，所謂的判斷某一年是否是閏年，就變成了查找這個數組的某一項的值是多少的問題。此時，我們的運算是最小化了，但是硬盤上或者內存中需要存儲這2050個0和1。這是通過一筆空間上的開銷來換取計算時間的小技巧。到底哪一個好，其實要看你用在什麼地方。
算法的空間複雜度通過計算算法所需的存儲空間實現，算法空間複雜度的計算公式記作:S(n)= O(f(n))，其中，n爲問題的規模，f(n)爲語句關於n所佔存儲空間的函數。
一般情況下，一個程序在機器上執行時，除了需要存儲程序本身的指令、常數、變量和輸入數據外，還需要存儲對數據操作的存儲單元，若輸入數據所佔空間只取決於問題本身，和算法無關，這樣只需要分析該算法在實現時所需的輔助單元即可。若算法執行時所需的輔助空間相對於輸入數據量而言是個常數，則稱此算法爲原地工作，空間複雜度爲0(1)。
通常， 我們都使用"時間複雜度"來指運行時間的需求，使用"空間複雜度"指空間需求。當不用限定詞地使用"複雜度'時，通常都是指時間複雜度。