題意
在一個有 m×n個方格的棋盤中，每個方格中有一個正整數。
現要從方格中取數，使任意 2 個數所在方格沒有公共邊，且取出的數的總和最大。試設計一個滿足要求的取數算法。
問題分析
二分圖點權最大獨立集，轉化爲最小割模型，從而用最大流解決。
建模方法
首先把棋盤黑白染色，使相鄰格子顏色不同，所有黑色格子看做二分圖X集合中頂點，白色格子看做Y集合頂點，建立附加源S匯T。
1、從S向X集合中每個頂點連接一條容量爲格子中數值的有向邊。
2、從Y集合中每個頂點向T連接一條容量爲格子中數值的有向邊。
3、相鄰黑白格子Xi,Yj之間從Xi向Yj連接一條容量爲無窮大的有向邊。
求出網絡最大流，要求的結果就是所有格子中數值之和減去最大流量。
建模分析
這是一個二分圖最大點權獨立集問題，就是找出圖中一些點，使得這些點之間沒有邊相連，這些點的權值之和最大。獨立集與覆蓋集是互補的，求最大點權獨立集可以轉化爲求最小點權覆蓋集（最小點權支配集）。最小點權覆蓋集問題可以轉化爲最小割問題解決。
結論:最大點權獨立集 = 所有點權 - 最小點權覆蓋集 = 所有點權 - 最小割集 = 所有點權 - 網絡最大流。
對於一個網絡，除去冗餘點（不存在一條ST路徑經過的點），每個頂點都在一個從S到T的路徑上。割的性質就是不存在從S到T的路徑，簡單割可以認爲割邊關聯的非ST節點爲割點，而在二分圖網絡流模型中每個點必關聯到一個割點（否則一定還有增廣路，當前割不成立），所以一個割集對應了一個覆蓋集（支配集）。最小點權覆蓋集就是最小簡單割，求最小簡單割的建模方法就是把XY集合之間的變容量設爲無窮大，此時的最小割就是最小簡單割了。
有關二分圖最大點權獨立集問題，更多討論見《最小割模型在信息學競賽中的應用》作者胡伯濤。
參考代碼
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
#define in rad()
inline int rad(){
int x=0,f=1;char c=getchar();while(c>'9'||c<'0')c=getchar();
if(c=='-')f=-1,c=getchar();while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-48,c=getchar();
return x*f;
}
const int maxn=1e4+10;
const int maxm=4e5+100;
const int inf=1e9;
struct Edge {
int u,v,w,nxt;
} e[maxm] ;
int first[maxn]= {},cnt=1,S,T;
inline void add(int u,int v,int w) {
e[++cnt].v=v;e[cnt].u=u;e[cnt].w=w;e[cnt].nxt=first[u];first[u]=cnt;
}
inline void ins(int u,int v,int w){
add(u,v,w);add(v,u,0);
}
int n,m,g[40][40],mp[40][40]={};
namespace D{
int dis[maxn],cur[maxn];
int bfs(int s,int t){
memset(dis,-1,sizeof(dis));
queue<int>q;
dis[s]=0;q.push(s);
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=first[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].v;
if(dis[v]!=-1||e[i].w==0)continue;
dis[v]=dis[u]+1;
q.push(v);
if(v==t)return 1;
}
}
return 0;
}
int dfs(int u,int t,int f){
if(!f||u==t)return f;
int w,used=0;
for(int &i=cur[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].v;
if(dis[v]!=dis[u]+1||e[i].w==0)continue;
w=dfs(v,t,min(f,e[i].w));
used+=w;f-=w;
e[i].w-=w;e[i^1].w+=w;
if(f==0)break;
}
return used;
}
int dinic(int s,int t){
int ret=0;
while(bfs(s,t)){
memcpy(cur,first,sizeof(first));
ret+=dfs(s,t,inf);
}
return ret;
}
}
int dx[]={0,0,1,-1};
int dy[]={1,-1,0,0};
inline int idx(int x,int y){
return (x-1)*n+y ;
}
int main(){
m=in;n=in;S=0,T=m*n+1;
int sum=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++){
int x=in;
sum+=x;
if((i+j)&1){
ins(S,idx(i,j),x);
for(int k=0;k<4;k++){
int tx=i+dx[k],ty=j+dy[k];
if(tx<1 || ty<1 || tx>m || ty>n)continue;
ins(idx(i,j),idx(tx,ty),inf);
}
}
else
ins(idx(i,j),T,x);
}
cout<<sum-D::dinic(S,T);
return 0;
}