一道莫比烏斯反演好題

前言

由於我昨天在旅遊，沒能及時更新博客，在這裏想大家致歉。

題目描述

有$n$個正整數$X_1,X_2\dots X_n$，每個數字有一個狀態，選中或者未選中，一開始所有的數都沒有選中。

有$m$個操作，每個操作給定一個編號$i$，將$X_i$的選取狀態取反。

每次操作後，計算選取的數中有多少個互質的無序數對。

數據範圍

20%的數據，$n\le1000$，$m\le1000$

另外30%的數據，$X_i\le100$

100%的數據，$n\le200000$，$m\le200000$，$X_i\le500000$，$1\le i\le n$

題解

莫比烏斯反演。

設$f(i)$爲$\gcd=i$的數對，$g(i)$爲$\gcd$是$i$倍數的數對，$h(i)$爲是$i$倍數的個數，

則$g(i)=\frac{h(i)(h(i)-1)}2$（顯然只有兩個數都是$i$的倍數，它們的$\gcd$纔是$i$的倍數）

而且$g(i)=\sum_{i\mid d}f(d)$

由第二類莫比烏斯反演得$f(i)=\sum_{i\mid d}\mu(\frac di)g(d)​$

所以$f(1)=\sum_i\mu(i)g(i)$

所以每次修改時用$\sqrt X$的複雜度修改$X$約數的$h$值，然後修改相關的$g$並修改$f(1)$即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500005;
#define ll long long
int n,m,x[N],y[N],a[N],u[N],p[N],tot,v[N];
ll ans;
void doo(int o,int p){
    if(p)ans+=u[o]*(a[o]++);
    else ans-=u[o]*(--a[o]);
}
int main(){
    u[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!v[i])p[++tot]=i,u[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<N;j++){
            v[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)break;u[i*p[j]]=-u[i];
        }
    }
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x[i]);
    while(m--){
        int o,opt=1;scanf("%d",&o);
        if(y[o])opt=0;y[o]^=1;
        int s=sqrt(x[o]);
        for(int i=1;i<=s;i++)if(x[o]%i==0){doo(i,opt);if(i!=x[o]/i)doo(x[o]/i,opt);}
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}