IMO2019 D1T1解答

還有1天就是NOI的第2試了，做爲OI選手的我竟然還在看IMO的題…QwQ

IMO2019 D1T1解答

題目

第 1 題 設整數集爲$Z$. 求所有$f:Z\to Z$使得對任意整數$a$, $b$都有
$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).~~~~~~~~(1)$

解答

設$f(0)=x$, $f(1)=x+y$.

把$a=0$代入$(1)$得$f(0)+2f(b)=f(f(b))$, 即$x+2f(a)=f(f(a))~~~~~~~~(2)$.

把$b=0$代入$(1)$得$f(2a)+2f(0)=f(f(a))$, 即$2x+f(2a)=f(f(a))~~~~~~~~(3)$.

由$(2)$和$(3)$得$f(2a)=2f(a)-x~~~~~~~~(4)$.

把$(2)$, $(4)$代入$(1)$得$2f(a)-x+2f(b)=x+2f(a+b)$, 即$f(a)+f(b)=x+f(a+b)~~~~~~~~(5)$.

由數學歸納法得$f(a)=x+ay~~~~~~~~(6)$.

把$(6)$代入$(1)$得$x+2ay+2x+2by=x+[x+(a+b)y]y$, 即$3x+2y(a+b)=(x+xy)+y^2(a+b)$對$a,b\in Z$恆成立,

即
$\begin{cases} 3x=x+xy&(7)\\ 2y=y^2&(8) \end{cases}$
由$(8)$得$y=0$或$y=2$.

把$y=0$代入$(7)$得$x=0$.

把$y=2$代入$(7)$得$x$爲任意整數.

因此$y=0$, $x=0$或$y=2$.

因此$f(a)=0$或$f(a)=2a+x$(其中$x\in Z$).

經檢驗, 這兩個解均滿足題意.

所以答案爲$f(a)=0$或$f(a)=2a+x$(其中$x\in Z$).

後記

這題做爲IMO的函數方程題，題目並不難，但是我做的時候還是犯了一些小錯誤，例如解完題之後沒有帶回原題檢驗，把$f(0)$看成$0$等等。以後做這類題目時還是要多多注意。