USACO 201901 白金組T1 redistricting題解

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題目大意

Bovinopolis城市有$1\le n\le3\times10^5$塊牧草地形成一條線，每一塊有一頭牛，是Guernsey或Holstein（兩種牛的品種）。

現在要把這座城市的牧草地分爲一些連續的區間，每個區間有不超過$1\le k\le n$個牧草地。

由於政府被Holstein控制，所以需要使Guernsey更多或Guernsey和Holsteins一樣多的區間個數最小化。請求出這個最小值。

題解

首先要學會$O(nk)$的DP：設$dp[i]$是前$i$塊牧草地的答案。

把Holsteins標爲1，把Guernsey標爲-1，設前綴和爲$S[i]$，則區間$[l,r]$被Guernsey佔領的充要條件是$S[r]-S[l-1]\le0$。

$dp[i]=\max_{j=i-1}^{i-k}dp[j]+[S[i]-S[j]\le0]$

即

$dp[i]=\max_{j=i-1}^{i-k}dp[j]+[S[i]\le S[j]]$

接下來考慮用線段樹優化。

對於每個$1\le i\le n$，分別統計線段樹下標$(-\infin,S[i])$和$[S[i],+\infin)$處的dp最小值，然後把$dp[i]$存入$S[i]$的下標處。

記得實時滑動窗口使得線段樹存着$dp[i-k,\dots,i-1]$的信息。

最終$dp[n]$就是答案。

那麼問題來了：如果兩個點的$S$值相等，那麼會導致覆蓋信息，怎麼辦？

很簡單，把$[1,n]$中的點按$S$值排序，並把$n$個點按照這個順序存在線段樹裏即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=300005;
int n,k,s[N],tre[N<<2],p1[N],p2[N],d[N];//p1=value,p2=index
pair<int,int>p[N];
char str[N];
#define mid ((l+r)>>1)
#define ls c<<1,l,mid
#define rs c<<1|1,mid+1,r
void build(int c,int l,int r){
	tre[c]=N;if(l==r)return;
	build(ls),build(rs);
}
int query(int c,int l,int r,int L,int R){
	if(r<L||R<L||R<l)return N;
	if(L<=l&&r<=R)return tre[c];
	return min(query(ls,L,R),query(rs,L,R));
}
void upd(int c,int l,int r,int x,int v){
	if(l==r){tre[c]=v;return;}
	if(x<=mid)upd(ls,x,v);else upd(rs,x,v);
	tre[c]=min(tre[c<<1],tre[c<<1|1]);
}
int main(){
	freopen("redistricting.in","r",stdin);
	freopen("redistricting.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%s",&n,&k,str+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){s[i]=s[i-1];if(str[i]=='G')--s[i];else ++s[i];}
	for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=make_pair(s[i],i);sort(p,p+n+1);
	for(int i=0;i<=n;i++)p1[i]=p[i].first,p2[p[i].second]=i;
	build(1,0,n);upd(1,0,n,p2[0],0);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int id=lower_bound(p1,p1+n+1,s[i])-p1;
		d[i]=min(query(1,0,n,0,id-1),query(1,0,n,id,n)+1);
		upd(1,0,n,p2[i],d[i]);if(k<=i)upd(1,0,n,p2[i-k],N);
	}
	printf("%d",d[n]);
	return 0;
}