MIT_Linear_Algebra_lec14: 正交向量和正交子空間

MIT_Linear_Algebra_lec14: 正交向量和正交子空間

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正交向量

• $x$與$y$正交，（這裏$x,y$可以看成列向量）表示$x,y$點積爲零

  $x^Ty = 0$$Σ_ix_iy_i = 0$

• $x, y, x+y$可以構成一個直角三角形，$x,y$夾角爲$90°$滿足畢達哥拉斯定理，即：

  $||x||^2$ + $||y||^2$ = $||x+y||^2$$x^Tx$ + $y^Ty$ = $(x+y)^T(x+y)$ $x^Ty = y^Tx = 0$

• 零向量與所有向量正交

正交子空間

子空間S與子空間T正交 ，表示S中的任意向量與T中的任意向量正交

• 兩個子空間如果相交，不會相交於非零向量

  解釋： 如果它們相交於非零向量，容易找到$v1∈S, v2 ∈ S∩T$,且兩者不成90°

列空間，行空間與零空間的關係

• 行空間與係數矩陣的零空間是正交互補的$Ax = 0$其中A是係數矩陣，A的行向量組成了行空間$[row1\ row2 ...]^Tx$ = $[0 \ 0 ...]^T$
  列數 - 係數矩陣的秩 = 零空間的秩
• 列空間與係數矩陣的轉置是正交互補的