MIT_Linear_Algebra_lec18 19: 行列式的性質 行列式及代數餘子式

十個行列式性質

1. det(I ) = 1

2. 交換行列式任意兩行，相當於乘以-1

$\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right| = - \left| \begin{matrix} c & d\\ a & b\\ \end{matrix} \right|$

3.1 行列式某行有一個公因子，可以提出來

$\left| \begin{matrix} ta & tb\\ c & d\\ \end{matrix} \right| =t \left| \begin{matrix} a & b\\ c & d\\ \end{matrix} \right|$

3.2 行列式每一行具有線性性

$\left| \begin{matrix} a+t & b + t\\ c & d\\ \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} a & b\\ c & d\\ \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} t & t\\ c & d \\\end{matrix}\right|$

4. 如果兩行相等，則行列式爲零

$\left| \begin{matrix} a & b\\ a & b\\ \end{matrix} \right|$ = 0

5. 任意消元不改變行列式的值

比如說 第k行 減去 l倍 第i行

6.若有一行全爲零，則行列式爲零

7.對角矩陣、上下三角矩陣的行列式爲對角線上元素的乘積

8.如果行列式爲零，則是奇異矩陣；反之行列式不爲零，則可逆

9. 行列式的乘積 = 乘積的行列式

$|AB| = |A||B|$

10. 等於轉置矩陣的行列式

$|A^T| = |A|$

代數餘子式公式

略