迴文子串問題
迴文子串問題通常會給出一個字符串，然後找出這個字符串中最長的迴文子串。
迴文串即爲正讀和反讀一致的字符串，比如”aa"，“abba”，"abcba"等。判別一個字符串是否爲迴文串很容易想到的方法是：
設立兩個遊標，分別在串的最左和最右，讓這兩個遊標向對方逼近的同時比較這兩個遊標的值
但是這裏我們要討論的是迴文子串，所以上述方法暴露出一個嚴重的缺陷：難以確定右遊標（因爲左遊標右邊的所有字符都可以是右遊標）。所以這裏我們需要轉換思維，不從兩邊逼近，而是從中間向兩邊擴散，這時候就要區分串的個數是奇數還是偶數了。
規律1：
奇數串，如aabaa，中間的字符可以是任意的，以這個字符爲軸，軸兩邊的字符是一一對應相等的。
偶數串，如baab，可以假設中間有一條軸，兩邊的字符必須一一對應。
準備過程
令n爲字符串的長度，最容易想到的方法就是枚舉每一個可能的字符串，一共有n^2 數量級的子串，判別每一個子串是否是迴文串需要n數量級的時間，所以時間複雜度爲O(n^3)
我們當然不推薦這樣的方法，但是可以作爲引導，來彌補這種算法的缺陷。爲了便於理解，我們引入“對稱軸”的概念，如下圖：
以軸爲界，軸兩邊的字符是關於軸鏡像對稱的，奇數串（字符個數爲奇數）的軸爲中間的字符，偶數串的軸爲中間的兩個字符。
規律2：
字符串的每一個字符（偶數串爲兩個連續字符）都可能是最長迴文子串的軸
由上面的這個規律可以知道，我們只需要遍歷一遍字符串，將每一個字符（偶數串爲兩個連續字符）作爲軸，尋找最長的迴文串，最後這些迴文串中最長的即爲整個字符串中的最長迴文子串。
遍歷一遍是n數量級的時間，尋找回文子串也是n數量級，所以時間複雜度是O(n^2)
但是這樣問題又來了，偶數串和奇數串的處理方法不同，需要分別處理。這時候我們就要用一個小技巧，用‘#’插入字符串中字符的間隔中，這樣就將所有字符串都轉換成奇數串，如下：
這樣我們就可以用一套方法來處理所有的字符串了，而且時間複雜度爲O(n^2)。但是我們還要追求更好的算法，這時候就需要更高一級的技術了，接下來就需要介紹一個時間複雜度爲n數量級的算法。
Manacher算法
在接下來所要涉及的均爲奇數串，首先來介紹以下幾個概念：
軸：因爲接來下的所有子串都爲奇數串，所以軸就確定爲一個迴文串最中間的字符
半徑：一個迴文串的軸 左/右邊 字符的個數（包括軸），比如aabaa的半徑爲3，aca的半徑爲2，c的半徑爲1。在算法中用 p[i] 表示，i爲軸的位置。
再來介紹幾個特殊點：
其中，mx是以id爲軸的最長迴文串的邊界，j是i關於id的對稱點，nx是mx關於id的對稱點。
如果i比mx大的話，那麼這個問題就變成了剛纔提到的O(n^2)時間複雜度的查找問題，但是假如i比mx小，那麼Manacher算法就可以省去很多不必要的檢驗。
根據迴文串的性質很容易得到以下結論：
規律3：
如果nx ~ id區間內存在迴文子串，那麼id ~ mx同樣的位置也會有同樣的迴文子串
規律4：
p[i] - 1是原字符串中最長迴文串的長度
同時爲了避免進行越界判別，可以在字符串首位加上兩個不會在字符串中出現的不同的字符，比如‘$’和‘\0’，至於爲什麼選擇‘\0’，因爲‘\0’本身就是用作截斷字符串。
我們遍歷的是i，遍歷i的時候會發生以下3種情況：
- 以j爲軸的迴文串在id爲軸的迴文串內部，簡稱內部
- 以j爲軸的迴文串在id爲軸的迴文串外部，簡稱外部
- 以j爲軸的迴文串邊界與以id爲軸的迴文串邊界重合，簡稱重合
對這三種情況進行分類討論。
內部的情況
得出的結論是：p[i]=p[j]（不清楚p[i]定義的可以翻到上面重新看半徑的定義）。
數學的證明方法這裏寫起來比較囉嗦，本來這篇文章也不是爲了講解證明過程，以後如果有人有興趣的話再說，這裏簡要說明一下證明思路：
假如以i爲軸迴文串長度加上了橙色的一截，超過了以j爲軸的字符串，甚至有可能超過了大回文串時，我們截取這個迴文串在大回文串中的一部分，將這段長度對應到軸j上，由規律3可以得知，j軸迴文串加上了這一部分長度的新串依然是一個迴文串，但是這樣的話就與已知條件矛盾（以j爲軸迴文串的半徑爲p[j]）。反之，如果p[i]<p[j]的話更不可能了（見規律3）
外部的情況
假如j軸迴文串的一部分超過了大回文串，那麼i軸迴文串的半徑就爲mx-i，有p[i] = mx - i，如下圖：
簡要證明一下，首先i軸迴文串不可能更短，因爲圖中綠色部分一定是一個迴文串（由藍色部分是迴文串和規律3這兩個條件可以得出）。然後i軸迴文串不可能更長，因爲我們已知的條件是id軸迴文串最長爲nx~mx，那麼說明超過這段的串一定不是迴文串，那麼假如i軸迴文串超過了大回文串，由規律3和迴文串的性質很容易得到id軸迴文串會變得更長，這與已知條件相悖。
重合的情況
假如j軸迴文串正好和邊界重合，即p[j] = mx - i，那麼p[i] >= p[j]，如下圖：
簡要證明一下，首先p[i]不可能更小（見規律3），然後需要證明p[i]可能變得更大。我們已知的是j軸迴文串正好和大回文串邊界重合，我們可以得出以下兩個結論
j軸迴文串兩側的字符不相等
大回文串兩側的字符不相等
數學上我們學過a ≠ b，b ≠ c，並不能推出a ≠ c，所以i軸迴文串兩側的字符是否相等還得進一步判斷。
總結
Manacher算法的核心思想就是儘可能找到一個軸id，讓mx > i，這樣就可以用以上的3種方法來進行快速判別，同時因爲整個算法只需要遍歷一遍字符串，大回文串是一直在外擴的，並不會進行回退，所以整個算法的時間複雜度爲O(n)。
代碼實現
char str[1050];
str[0] = '$';
str[1] = '#';
int len = s.size();
int sl = 2; // sl爲處理後字符串的長度
for (int i = 1; i < len; i++)
{
str[sl++] = s[i];
str[sl++] = '#';
}
str[sl] = '\0';
int mx = 0, id = 0;
int p[1050];
memset(p, 0, sizeof(p));
int ml = 1;
for (int i = 1; i < sl; i++)
{
if (i < mx)
p[i] = min(p[2 * id - 1], mx - i); // 2*id-1即爲j的位置
else
p[i] = 1;
while (str[i - p[i]] == str[i + p[i]]) {
p[i]++;
}
if (mx < i + p[i]) { // 儘可能找到一個大的id和mx
id = i;
mx = i + p[i];
}
ml = max(ml, p[i] - 1); // 更新最大值
}
return ml;