在進行APS（高級計劃與排程）系統開發時，絕大多數情況下是需要考慮多目標的。但面對多目標問題進行規劃求解時，我們往往極容易因處理方法不當，而影響輸出結果，令結果與用戶期望產生較大差別。事實上很多時候用戶，面對此類問題也無法給出一個確定的合理的期望，因爲多個目標混合在一起的時候，產生複雜的規劃邏輯，用戶自身也會被迷惑，到最後就錯誤地提出一些所有目標都達到極致的“完美”計劃要求；但客觀上是不存在這種“完美”計劃的。
本文將以製造業中的生產計劃爲背景，介紹APS技術中的處理多目標規劃問題相關知識與經驗，介紹多目標規劃問題的求解，是如果反映在生產計劃優化系統的設計過程中的。在企業供應鏈的其它環節的優化過程，同樣適用此本文所述的理論。
多目標規劃在現實情況下的體現
在製造業中創建生產計劃時，考慮的因素非常多且繁雜。包含客觀必須符合的規則，稱爲硬約束；以及作爲計劃優劣的衡量指標、可量化、可違反的規則，稱爲軟約束。下面對這兩種約束進行詳細分析。
硬約束
以製造業的生產環節爲例，硬約束是指那些在制定生產計劃過程中，是一種定性的制約因素，其對應的約束必須遵循；一旦違反，會令計劃不可行。也就是說，對於此類制約因素，對其考量只有True(符合)/False(違反)種結論，而不考量其違反程度是大或小。例如產品的工藝要求，生產任務對機臺的參數要求，生產工藝產生的環境影響因素等，都是硬性指標，一旦有違反，會令計劃無法執行。再例如嚴重違反政策法規的制約因素，都會被定義爲硬約束，力求在計劃過程中無條件、零容忍地遵守。
在對問題進行數學建模，並使用求解器進行規劃求解的過程中，硬約束將會作爲約束條件出現，也即所建立的數學模型中的s.t.(subject to)部分。可以設想到，若一個生產計劃問題可以被認定爲規劃問題（不管是線性規劃，還是非線性規劃），其數學模型的s.t.部分將會非常複雜。事實上在實際生產環節中，絕大部分情況是難以將生產計劃問題直接地抽象成數學模型的。而且對於普通的工程人員而言，將整個系統中的生產計劃制約因素和優化目標都建模成數學模型，再進行規劃求解，要求也是極高的。普通的軟件工程人員，並未受過該方面的專業訓練，並不具備這方面的能力。這也是爲什麼一些對業務邏輯表達方式更友好，描述語法語義更豐富，通用性強的規劃引擎(其核心是一個求解器 - Solver)，更容易在軟件工程實踐中被成功應用。
軟約束
從業務的角度看來，軟約束也是制約因素的一種，其目的是讓生產計劃存在一些可議價的、定量的因素，令到計劃生成過程中，趨向我們意願發展。也是說，相對硬約束而言，軟約束是有“商量，議價”餘地的。最好的情況下，APS系統生成的生產計劃，其硬約束、軟約束都完全符合。但是因爲實踐生產環節中，存在大量客觀因素，有些軟約束是不可避免要被違反的，甚至系統本身設計的邏輯中，已經安排了把一些因素設計爲必然會違反的約束，其目的是給規劃引擎指明一個優化方向。即通過此類趨向約束，向規劃引擎提供一個信息 - “儘管規劃所得的解可以違反這些軟約束，但你違反的程度越低，得到的解越優，也就是得到的計劃越優化。”，軟約束在現實業務中，通常對應於成本、機臺開動率、生產效率、訂單交期等。也就是說，軟約束是一種定量約束，整個規劃的目標首先是確保硬約束全部符合，再在此基礎上再力求提高軟約束的符合程度。當因客觀原因，某個軟約束無法完全符合時，則進一步尋找軟約束違反得更少的方案。
在對規劃問題進行建模時，因爲軟約束是一個爲規劃運算指導方向的組成部分，通常會把它作爲規劃目標體現在數學模型中。例如進行生產計劃優化程序設計時，可以把成本最小化作爲規劃目標。也就是說，在生成生產計劃時，在保證工藝參數、安全特性等硬條件不被違反的前提下，尋找出最低成本的計劃方案，就是本次規劃運算的目標。在建立的數學模型中，軟約束體現爲目標函數。例如，成本最小化在模型中會表示爲 Min f(x) (其中f爲成本函數).
硬約束與軟約束存可以存在互相轉換的可能
在實際業務環境中，某些因素被定義爲硬約束或軟約束，是與當時具體的情形相關的。某一因素在特定情況下需要確保不違反，則需要被定義爲硬約束。但相同的因素，有可能在另外的條件下，可以作出一定程度的讓步，甚至放棄；則可定義爲軟約束。
例如產品交期，對於某些訂單而言，因爲其涉及到的合同存在重大責任，或延期會影響到企業商譽，進而影響企業生存，必須保證交付不延誤，不存在任何讓步的空間；因此，需要被定爲硬約束。但有些訂單其優先級較低，延誤的損失遠比爲了確保不延誤而付出的代價高，則有可能允許一定程度的延期。又如，某些生產活動，會對環境造成某種程度上影響，當政府監管機構對該影響未作出強制消除要求時，企業只會在其它更高優先級的因素得到保證的前提下，儘量減少此類影響的發生。但若政府對這種影響作出明確要求，並以法律法規形式作出限制，要求企業在生產活動中必須消除，否則將會觸犯相關法律法規時，此影響對應的制約因素，需要在制定生產計劃時，作爲硬約束考慮，以確保不違規。
因此，硬約束與軟約束在一定的環境條件下，存在互相轉換的可能。而在我們對規劃模型進行設計時，這種轉則是性質上的改變。當一個因素作爲硬約束存在時，它是反映在規劃模型的限制條件中的。而當它轉化爲軟約束時，建模時則需要把該因素作爲優化目標考慮。
多個優化目標
在常見的運籌優化教材中多目標優化相關的章節裏，涉及規劃問題的數學模型，很多例子都是由多個約束條件及一個優化目標組成的。即對應於實際規劃問題中，多個硬約束和一個軟約束組成。例如各種線性規劃例子中出現的，某工廠的生產活動在若干項約束條件下，實現利潤最大化的情況。其【利潤最大化】就是該規劃問題的唯一優化目標，利潤函數也是唯一的目標函數。
但是在實的規劃系統（例如各APS系統）中，面對更爲複雜的規劃情況時，其規劃目標往往不只一個，有可能多個。且這些目標往往錯綜複雜，有可能存在兩個方向相同的目標，也可能兩個目標是相反的，即互相制衡的。總之，這些目標之間沒有直接的可比性。
面對這種情況，在設計規劃程序時會變得相當複雜。在運籌學上，此類問題稱爲多目標規劃問題；其數學模型中存在多個目標函數。大家可以想象中，當存在多個目標函數時，其優化的結果往往是無法令所有目標函數都能得到極值的。因此，多目標規劃問題是運籌這中較前沿、較複雜的問題。因爲多個目標對應的指標有可能不存在相關性。因此，並不存在一個所有目標均達到最優的解。只能在多個目標之間做權衡取捨，或將多個目標做出某種混合關聯，得到一個單一目標規劃問題。
求解多目標優化的困惑
因爲多目標規劃問題存在多個目標需要同時被優化，所有這些目標都有一個對應的最優解，但各個目標具有不同的方向，在規劃模型中，每個目標通過一個向量表示。也即不可能存在一個所有目標都達到最優狀態的解決方案存在。
因此，我們求解此類問題時，只能根據實際情況對不同目標進行個性處理。分別：
- 是對目標進行優先級劃分，確保優先級越高的目標，其達到優化的程度越高。
- 根據目標的重要程度，對各個目標設置加權值，令求解器在運算過程中，根據比例來確定各個目標的重要程度，從而得到相應的解決方案。
- 對多目標問題求解，令其達到帕累托最優狀態，在該狀態中會提供一個解決方案集，用戶可以在此解決方案集中選擇一個解決方案。
多目標規劃問題的處理辦法
根據上述的多目標規劃，常用的處理方法有三種，分別是：
- 按各目標的優先級，分層處理，每一層只處理一個目標。從最高優先級目標開始，找出該目標最優狀態下的解決方案集。再在此集合中找出次優先級目標的最優解方案子集。如此類推直到完成所有目標的尋優運算。 獲得解決方案中，即爲該多目標規劃問題，目標分層的解決方案。
- 將多個目標桉權重轉化爲單一目標。根據各目標對應的業務因素的重要程度，設置相應目標的權重。通過權重的計算比例，來獲得一個綜合了各個目標的、新的單一目標，再對此新產生的單一目標求極值，所得的解決方案作爲該問題的最優解決方案。
- 對問題進行優化，令其達到帕累托最優狀態。獲得處於此狀態下的非劣最優解集，供用戶來決定最終選用的方案。關於帕累托最優相關的資料，大家可以自行了解。通俗地講，因爲多目標規劃問題中，各個目標是除了有輕重緩急外，還有方向性的，目標可表示爲一個向量。帕累托最優，表示對多目標規劃問題的各個目標求最優值，當達到這麼一個狀態：不存在對一個目標進一步改善，而不影響其它目標，即爲帕累托最優狀態。大家可以設想，這種狀態下的解決方案不可能只有一個，而是一個解決方案集。
多目標規劃問題詳解
下面，將對上述前兩種處理辦法進行詳細說明。因上述講到關於對多目標規劃問題進行優化，達到帕累託優化狀態，進而獲得非劣解集。目前各個求解器暫時仍未有成熟的方案支持，本文暫不討論此方法。
在求解多目標規劃問題時，關於求非劣解集的方法。因目前本人尚未接觸過較成熟的、可以對多目標規劃問題，求得非劣最優解集的引擎技術；因此，暫未有辦法對該方法展開討論。關於通過Optaplanner求非劣解集的方法，我曾請教過該項目負責人Geoffrey先生 ，他覺得以目前項目的狀態，若Optaplanner中添加此功能，需要修改的工作量相當大，暫時還未有關於此功能的具體開發計劃；除非該功能真正具體相當的價值。也這是各個求解器在多目標規劃方面類似的地方。因爲多目標求解領域，目前在學界深入研究相對非多目標規劃更少，相關的成果也沒有單目標規劃成熟。而且多目標規劃在一定程度及範圍內，確實是應該進行進一步加工，形成單目標規劃，即有相應的替代方案。因此，求非劣解集功能目前並非各大求解器的主要發展方向。
將目標按優先級分塊層處理
對多目標進行分層按優先級由高到低進行尋優。此方法可理解爲，對於問題中需要優化的目標，根據實際業務情況，對其進行優先級劃分並從高到低排序。優先級高的目標，相對優先級低的目標，享有壓倒性的優先保證權。在保證對高優先級的目標達到最優的前提下，再去考慮次優先級目標的優化取值問題。即一個目標的優化範圍，是在其上一級目標優化解決方案子集內進行求解的。
例如，在實際的智能生產計劃系統設計過程中，存在三個目標，它們的優先級由高到低排列，分別是【保證交期】、【提高機臺利用率】和【降低成本】。那麼在對這個問題進行規劃求解時，第一步可以不考慮【提高機臺利用率】和【降低成本】兩個目標，只對【保證交期】一目標進行首次優化。當【保證交期】目標處於相對最優狀態時，將存在【提高機臺利用率】與【降低成本】兩個目標取值不相同的解決方案集。下一步在將在此解決方案集的基礎上，求【提高機臺利用率】目標的相對最優的解決方案集；獲得【提高機臺利用率】目標也爲最優的解決方案子集。再進一步求得【降低成本】目標的相對最優方案。那麼，最終得到的方案，即爲按【保證交期】 -> 【提高機臺利用率】 ->【降低成本】遞減的相對最優方案。
通過Optaplanner實現上述步驟時，只需將【保證交期】、提高機臺利用率】和【降低成本】三個目標設計對應的軟約束（大家應該知道爲什麼要定義爲軟約束），通過BendableScore評分機制，定義爲由高到低的三個層次即可。Optaplanner在求解時，將會按上述邏輯，根據不同層次的約束分數的優先次序，來求得相對最優解。
將多個目標轉化爲單一目標處理
有些情況下某些規劃問題，因爲目標之間無法劃分明確的優先級，因此，無法對多目標進行分層來逐一求最優解。例如，在特定情況下，有些目標優先級相對較高，但同樣的問題在另外一種情況下，它的優先級則相對較低。因此，無法呈現出目標間優先級高低關係，也即無法在規劃開始之前，就確定各個目標的優先次序。
但是，這種問題的不同目標的優先級，存在一種“由量變達成質變”的特性。一個目標無法達成，需要被扣除約束分，當扣除分值達到一定量時，它會產生質的變化，會變成一個相對其它目標更爲重要的目標。還是以生產計劃中的【保證交期】與【降低成本】兩個目標爲例。應該先對交期無法保證時（即【保證交期】目標無法達成），企業所承受的損失量化成貨幣價值。而生產成本也需要以貨幣價值體現。通常情況下，爲了強制保證交期，可能需要付出相對更高的成本代價。當爲了保證一個訂單的交期而承受的成本價值，高於該訂單延期所遭受的損失貨幣價值時，【保證交期】目標的優先級，將會變得比【降低成本】目標的優先級更低了。這個時候我們希望的是放棄【保證交期】目標，從而令計劃的整體成本得到降低。
要設計上述邏輯，從Optaplanner的實現方法來看，表面上是簡單的。我們只需要確定好交期的貨幣價值與成本的貨幣價值即可。當引擎在優化運算時，會根據各個可能解決方案的實際的交期和成本屬性，自行對比並選擇較優的解決方案。但看似簡單的設計邏輯，在實現起來卻非常具挑戰性，其難點在於如何分配這兩個目標的權重。這個就需要從業務上明確地甄別出各個目標之間的權重比例。並需要經過衆多實際數據、多輪的規劃進行反覆驗證，才能得到相對最佳的權重比例。而且通過這種比例關係規劃出來的結果，非常不直觀，對結果的驗證也需要花費相當大的精力和時間。但這是一個相對最佳的處理多目標規劃的辦法之一。
總結：多目標規劃的本質
儘管多目標規劃問題，令運籌優化問題變得更復雜，但它卻是現實世界中是無時無刻存在的。正是多目標規劃問題，才能真徹地反映現實世界的情況。它反映的是事物的多樣性、衝突性和真實性。雖然單目標規劃問題相對容易解決，也可以求得極佳的解決方案，但它只是現實世界的很少一部分，甚至是理論世界才存在的問題。僅能作爲運籌規劃的基本解決方法。真正需要解決的問題，還是相當複雜的多目標規劃問題。這也是爲什麼APS技術在工程應用中實現難度大的最重要原因之一。多目標規劃問題，不僅對於專業的工程人員來說難以解決，對於普通用戶來說，對於APS輸出的解決方案的理解與分析，也存在相當大的挑戰，從而令很多用戶對APS難以接受，甚至而失去信心。
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