全基因組選擇介紹及實踐-2：構建H矩陣

1, 編者自語

H矩陣作爲一步法的入門技術, 是需要掌握的, 本文以一篇文獻爲例, 介紹如何從頭構建H矩陣. 文章包括H矩陣推導過程和代碼實現.

2, H矩陣定義

基因組選擇中, GBLUP的一個挑戰是, 在參考羣構建時, 需要兩步, 第一步根據系譜和表型數據, 計算出僞數據(pseudo-data)(比如, 根據系譜計算公牛的女兒產奶偏差作爲表型值, 因爲公牛沒有產奶數據), 然後用基因組信息進行評估建模, 這就造成信息的損耗和偏離. 解決的方法是, 可以通過一種手段, 將系譜關係A矩陣和基因組信息構建的親緣關係G矩陣合併爲H矩陣, 這樣就成了一步法(Single-setp).

As not all animals can be genotyped, a 2- or 3-step procedure has to be followed; first, a regular genetic evaluation is run; then, corrected phenotypes or pseudo-data are used in the second step, where the marker-assisted selection model is effectively applied (Guillaume et al., 2008; VanRaden et al., 2009). These phenotypes are daughter yield deviations (DYD) and yield deviations (YD) for dairy cattle.

3, H矩陣推導過程–三組進行推導

假設A矩陣, 包括三部分:

A is the numerator relationship matrix based on pedigree. Consider three types of animals in u: 1) ungenotyped ancestors with breeding values u1; 2) genotyped animals, with breeding values u2 (no ancestor is genotyped and phantom parents can be generated if necessary); and 3) ungenotyped animals with breeding values u3, which might descend from either one of the three types of animals.

• 編號1 是沒有測序的個體, 祖先
• 編號2 是測序的個體(當代和後代)
• 編號3 是沒有測序個體(當代和後代)

如果所有個體A矩陣按照世代排, 那麼可以將其分爲如下部分:

其中$A_{22}$是測序個體構成的矩陣, 相應個體對應的是G矩陣,

$A_g$ 是所有個體的親緣關係矩陣, 如果在所有個體矩陣中剖分出A矩陣, 那麼:

$u_3$爲3組育種值, 它的構成爲:

那麼3組的方差, 3組和1組, 3組和2組的協方差爲:

那麼矩陣變爲:

剖出A矩陣

4, H矩陣推導過程–二組進行推導

那麼A矩陣和A逆矩陣可以剖分爲:

• 編號1爲非測序個體
• 編號2爲測序個體

測序個體和非測序個體的方差以及協方差:

假定H矩陣爲所有個體的矩陣:
那麼H矩陣可以分爲:

5, H逆矩陣推導過程

H矩陣還可以寫爲:

對其進行求逆:

這裏$A_{22}^{-1}$爲測序個體的親緣關係逆矩陣

6, 系譜數據構建A矩陣

R語言生成系譜

ped_full <- data.frame(ID=9:17,Sire=c(1,3,5,7,9,11,11,13,13),Dam=c(2,4,6,8,10,12,4,15,14))
ped_full

結果:

> ped_full
  ID Sire Dam
1  9    1   2
2 10    3   4
3 11    5   6
4 12    7   8
5 13    9  10
6 14   11  12
7 15   11   4
8 16   13  15
9 17   13  14

利用nadiv包計算A矩陣
因爲nadiv中的makeA函數, 計算的A矩陣行名沒有安裝1~17編號, 需要生成一個id_r的編號對矩陣進行排序, 排序後的矩陣按照1 ~ 17編號.

ped = nadiv::prepPed(ped_full)
A_mat = as.matrix(nadiv::makeA(ped))
id = row.names(A_mat)
id_r = match(1:17,id)
A_mat_sort = A_mat[id_r,id_r]
Matrix::Matrix(A_mat_sort, sparse=TRUE) # 查看稀疏矩陣

結果:

> Matrix::Matrix(A_mat_sort, sparse=TRUE)
17 x 17 sparse Matrix of class "dsCMatrix"
   [[ suppressing 17 column names ‘1’, ‘2’, ‘3’ ... ]]
                                                                                                           
1  1.000 .     .     .     .     .     .     .     0.50 .     .    .    0.2500 .     .      0.12500 0.12500
2  .     1.000 .     .     .     .     .     .     0.50 .     .    .    0.2500 .     .      0.12500 0.12500
3  .     .     1.000 .     .     .     .     .     .    0.500 .    .    0.2500 .     .      0.12500 0.12500
4  .     .     .     1.000 .     .     .     .     .    0.500 .    .    0.2500 .     0.5000 0.37500 0.12500
5  .     .     .     .     1.000 .     .     .     .    .     0.50 .    .      0.250 0.2500 0.12500 0.12500
6  .     .     .     .     .     1.000 .     .     .    .     0.50 .    .      0.250 0.2500 0.12500 0.12500
7  .     .     .     .     .     .     1.000 .     .    .     .    0.50 .      0.250 .      .       0.12500
8  .     .     .     .     .     .     .     1.000 .    .     .    0.50 .      0.250 .      .       0.12500
9  0.500 0.500 .     .     .     .     .     .     1.00 .     .    .    0.5000 .     .      0.25000 0.25000
10 .     .     0.500 0.500 .     .     .     .     .    1.000 .    .    0.5000 .     0.2500 0.37500 0.25000
11 .     .     .     .     0.500 0.500 .     .     .    .     1.00 .    .      0.500 0.5000 0.25000 0.25000
12 .     .     .     .     .     .     0.500 0.500 .    .     .    1.00 .      0.500 .      .       0.25000
13 0.250 0.250 0.250 0.250 .     .     .     .     0.50 0.500 .    .    1.0000 .     0.1250 0.56250 0.50000
14 .     .     .     .     0.250 0.250 0.250 0.250 .    .     0.50 0.50 .      1.000 0.2500 0.12500 0.50000
15 .     .     .     0.500 0.250 0.250 .     .     .    0.250 0.50 .    0.1250 0.250 1.0000 0.56250 0.18750
16 0.125 0.125 0.125 0.375 0.125 0.125 .     .     0.25 0.375 0.25 .    0.5625 0.125 0.5625 1.06250 0.34375
17 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.25 0.250 0.25 0.25 0.5000 0.500 0.1875 0.34375 1.00000

和文章結果一致:

7, 基因組信息G矩陣

令個體9~12爲測序個體, G矩陣爲對角線爲1, 非對角線爲0.7的矩陣, 有行名和列名.

代碼

G <- matrix(0.7,4,4)
diag(G) <- 1
rownames(G) <- colnames(G) <- 9:12
G

結果

> G
     9  10  11  12
9  1.0 0.7 0.7 0.7
10 0.7 1.0 0.7 0.7
11 0.7 0.7 1.0 0.7
12 0.7 0.7 0.7 1.0

8, 根據公式計算H矩陣

需要計算的元素:

• $A_{11}$
• $A_{12}$
• $A_{22}^{-1}$
• $A_{22}$

注意: 這裏的$A_{22}^{-1}$, 不是$A^{-1}$的子集, 而是A的子集的逆

這裏非測序個體爲1:8, 13:17, 測序個體爲9:12

# 提取子集
id_g = 9:12
id_ng = c(1:8,13:17)

A22 = A[id_g,id_g]
A12 = A[id_ng,id_g]
A21 = A[id_g,id_ng]
A22 = A[id_g,id_g]
iA22 = solve(A22)

根據公式, 計算H11, H12, H21, H22

# 構建H矩陣
H11 = A11 + A12 %*% iA22 %*% (G - A22) %*% iA22 %*% A21
H12 = A12 %*% iA22 %*%G
H21 = G %*% iA22 %*% A21
H22 = G
H = cbind(rbind(H11,H21),rbind(H12,H22))
round(H,4)

結果

> round(H,2)
      1    2    3    4    5    6    7    8    9   10   11   12   13   14   15   16   17
1  1.00 0.00 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.50 0.35 0.35 0.35 0.43 0.35 0.26 0.34 0.39
2  0.00 1.00 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.50 0.35 0.35 0.35 0.43 0.35 0.26 0.34 0.39
3  0.18 0.18 1.00 0.00 0.18 0.18 0.18 0.18 0.35 0.50 0.35 0.35 0.43 0.35 0.18 0.30 0.39
4  0.18 0.18 0.00 1.00 0.18 0.18 0.18 0.18 0.35 0.50 0.35 0.35 0.43 0.35 0.68 0.55 0.39
5  0.18 0.18 0.18 0.18 1.00 0.00 0.18 0.18 0.35 0.35 0.50 0.35 0.35 0.43 0.34 0.34 0.39
6  0.18 0.18 0.18 0.18 0.00 1.00 0.18 0.18 0.35 0.35 0.50 0.35 0.35 0.43 0.34 0.34 0.39
7  0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 1.00 0.00 0.35 0.35 0.35 0.50 0.35 0.43 0.26 0.31 0.39
8  0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.00 1.00 0.35 0.35 0.35 0.50 0.35 0.43 0.26 0.31 0.39
9  0.50 0.50 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 1.00 0.70 0.70 0.70 0.85 0.70 0.52 0.69 0.77
10 0.35 0.35 0.50 0.50 0.35 0.35 0.35 0.35 0.70 1.00 0.70 0.70 0.85 0.70 0.60 0.73 0.77
11 0.35 0.35 0.35 0.35 0.50 0.50 0.35 0.35 0.70 0.70 1.00 0.70 0.70 0.85 0.68 0.69 0.77
12 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.50 0.50 0.70 0.70 0.70 1.00 0.70 0.85 0.52 0.61 0.77
13 0.43 0.43 0.43 0.43 0.35 0.35 0.35 0.35 0.85 0.85 0.70 0.70 1.35 0.70 0.56 0.96 1.02
14 0.35 0.35 0.35 0.35 0.43 0.43 0.43 0.43 0.70 0.70 0.85 0.85 0.70 1.35 0.60 0.65 1.02
15 0.26 0.26 0.18 0.68 0.34 0.34 0.26 0.26 0.52 0.60 0.68 0.52 0.56 0.60 1.18 0.87 0.58
16 0.34 0.34 0.30 0.55 0.34 0.34 0.31 0.31 0.69 0.73 0.69 0.61 0.96 0.65 0.87 1.41 0.80
17 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.77 0.77 0.77 0.77 1.02 1.02 0.58 0.80 1.52

文章結果:

9, 代碼彙總

# 構建系譜
ped_full <- data.frame(ID=9:17,Sire=c(1,3,5,7,9,11,11,13,13),Dam=c(2,4,6,8,10,12,4,15,14))
ped_full

# 計算A矩陣
ped = nadiv::prepPed(ped_full)
A_mat = as.matrix(nadiv::makeA(ped))
id = row.names(A_mat)
id_r = match(1:17,id)
A_mat_sort = A_mat[id_r,id_r]
A = A_mat_sort

Matrix::Matrix(A_mat_sort, sparse=TRUE)

# 構建G矩陣
G <- matrix(0.7,4,4)
diag(G) <- 1
rownames(G) <- colnames(G) <- 9:12
G

# 提取子集
id_g = 9:12
id_ng = c(1:8,13:17)

A11 = A[id_ng,id_ng]
A22 = A[id_g,id_g]
A12 = A[id_ng,id_g]
A21 = A[id_g,id_ng]
A22 = A[id_g,id_g]
iA22 = solve(A22)

# 構建H矩陣
H11 = A11 + A12 %*% iA22 %*% (G - A22) %*% iA22 %*% A21
H12 = A12 %*% iA22 %*%G
H21 = G %*% iA22 %*% A21
H22 = G
H = cbind(rbind(H11,H21),rbind(H12,H22))
id = rownames(H)
id_r = match(1:17,id)
H = H[id_r,id_r]
round(H,2)

10, 編寫一個函數

這裏編寫一個H_matrix函數, 參數有:

• G矩陣, 包括行名和列名
• ped, 系譜文件
• id_g, 是基因型id
• id_full, 是所有個體的id

H_matrix = function(G = G, ped = ped,id_g, id_full){
  ped = nadiv::prepPed(ped_full)
  A_mat = as.matrix(nadiv::makeA(ped))
  A = A_mat[id_full,id_full]
  id_ng = setdiff(id_full,id_g)
  
  A11 = A[id_ng,id_ng]
  A22 = A[id_g,id_g]
  A12 = A[id_ng,id_g]
  A21 = A[id_g,id_ng]
  A22 = A[id_g,id_g]
  iA22 = solve(A22)
  
  # 構建H矩陣
  H11 = A11 + A12 %*% iA22 %*% (G - A22) %*% iA22 %*% A21
  H12 = A12 %*% iA22 %*%G
  H21 = G %*% iA22 %*% A21
  H22 = G
  H = cbind(rbind(H11,H21),rbind(H12,H22))
  id = rownames(H)
  id_r = match(1:17,id)
  H = H[id_r,id_r]
  return(H)
}

測試

# pedigree
ped_full <- data.frame(ID=9:17,Sire=c(1,3,5,7,9,11,11,13,13),Dam=c(2,4,6,8,10,12,4,15,14))

# genotype
G <- matrix(0.7,4,4)
diag(G) <- 1
rownames(G) <- colnames(G) <- 9:12

# id_g
id_g = 9:12

# id_full
id_full = 1:17

H = H_matrix(G,ped_full,id_g,id_full)
round(H,2)

結果

> round(H,2)
      1    2    3    4    5    6    7    8    9   10   11   12   13   14   15   16   17
1  1.00 0.00 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.50 0.35 0.35 0.35 0.43 0.35 0.26 0.34 0.39
2  0.00 1.00 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.50 0.35 0.35 0.35 0.43 0.35 0.26 0.34 0.39
3  0.18 0.18 1.00 0.00 0.18 0.18 0.18 0.18 0.35 0.50 0.35 0.35 0.43 0.35 0.18 0.30 0.39
4  0.18 0.18 0.00 1.00 0.18 0.18 0.18 0.18 0.35 0.50 0.35 0.35 0.43 0.35 0.68 0.55 0.39
5  0.18 0.18 0.18 0.18 1.00 0.00 0.18 0.18 0.35 0.35 0.50 0.35 0.35 0.43 0.34 0.34 0.39
6  0.18 0.18 0.18 0.18 0.00 1.00 0.18 0.18 0.35 0.35 0.50 0.35 0.35 0.43 0.34 0.34 0.39
7  0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 1.00 0.00 0.35 0.35 0.35 0.50 0.35 0.43 0.26 0.31 0.39
8  0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.00 1.00 0.35 0.35 0.35 0.50 0.35 0.43 0.26 0.31 0.39
9  0.50 0.50 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 1.00 0.70 0.70 0.70 0.85 0.70 0.52 0.69 0.77
10 0.35 0.35 0.50 0.50 0.35 0.35 0.35 0.35 0.70 1.00 0.70 0.70 0.85 0.70 0.60 0.73 0.77
11 0.35 0.35 0.35 0.35 0.50 0.50 0.35 0.35 0.70 0.70 1.00 0.70 0.70 0.85 0.68 0.69 0.77
12 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.35 0.50 0.50 0.70 0.70 0.70 1.00 0.70 0.85 0.52 0.61 0.77
13 0.43 0.43 0.43 0.43 0.35 0.35 0.35 0.35 0.85 0.85 0.70 0.70 1.35 0.70 0.56 0.96 1.02
14 0.35 0.35 0.35 0.35 0.43 0.43 0.43 0.43 0.70 0.70 0.85 0.85 0.70 1.35 0.60 0.65 1.02
15 0.26 0.26 0.18 0.68 0.34 0.34 0.26 0.26 0.52 0.60 0.68 0.52 0.56 0.60 1.18 0.87 0.58
16 0.34 0.34 0.30 0.55 0.34 0.34 0.31 0.31 0.69 0.73 0.69 0.61 0.96 0.65 0.87 1.41 0.80
17 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.39 0.77 0.77 0.77 0.77 1.02 1.02 0.58 0.80 1.52

搞定.

公衆號ID：R-breeding

11, 數據及結果來源

paper:Legarra A, Aguilar I, Misztal I. A relationship matrix including full pedigree and genomic information.[J]. Journal of Dairy Science, 2009, 92(9):4656-63.