2839: 假裝這是簽到題
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Description
對於線性方程組求是一個十分有趣的而又實用的技能，一般解線性方程組的方法有五種分別爲：
第一種 消元法 ,此法 最爲簡單,直接消掉只剩最後一個未知數,再回代求餘下的未知數,但只適用於未知數個數等於方程的個數,且有解的情況.
第二種 克拉姆法則,如果行列式不等於零,則用常數向量替換系數行列式中的每一行再除以係數行列式,就是解；
第三種 逆矩陣法,同樣要求係數矩陣可逆,直接建立AX=b與線性方程組的關係,X=A^-1.*b就是解
第四種 增廣矩陣法,利用增廣矩陣的性質(A,b)通過線性行變換,化爲簡約形式,確定自由變量,（各行中第一個非零元對應的未知數除外餘下的就是自由變量）,對自由變量進行賦值,求出其它未知數,然後寫成基礎解析的形式,最後寫出通解.
這種方法需要先判別:增廣矩陣的秩是否等於係數矩陣的秩,相等且小於未知數個數,則無窮多解；等於未知數個數,唯一解.秩不想等,無解.
第五種 計算機編程,隨便用個軟件,譬如Matlab,輸入密令,
問：給你一個等比數列，求前 n項和，對 998424353 取模。
Input
第一行一個整數 T
(T≤105) ，表示有 T
組測試數據 。
對於每組測試數據：
輸入三個整數 a,q,n，分別表示數列第一項，公比，前多少項， (|a|≤109,|q|≤109,(q≠0),n≤109) (|a|代表 a的絕對值)。
Output
對於每組測試數據，輸出一個整數，表示該等比數列的前 n
項和。
3
2 2 3
3 2 500
-1 2 3
14
728273816
998424346
此題最大的坑點就是這個mod，一個不小心就發現不了這個mod不是素數，這個可以被43，137，5891整除，如果直接用公式算逆元的話會出問題的，第二組測試樣列就可以驗證（暴力算出來是不等的），逆元的條件是互素，不滿足，因爲n爲1e9,所以全部暴力也是不可能的，所以我們想到了二分。
我們已n=5或4爲例：
推廣到n
所以得到公式：
ll RNG(int q,int n)
{
if(n==1)return 1;
if(n%2==0)return RNG(q,n/2)*(1+quick_pow(q,n/2))%mod;
else return RNG(q,n/2)*(1+quick_pow(q,n/2))%mod+quick_pow(q,n-1);
}
因爲一個快速冪的的複雜度爲 log(n)所以整體的的複雜度爲 log^2 (n) 問題不大。
另外： 不知道這個想法偏不偏，但是想到了的話這個題也是簡單題，只要發現這個mod不是素數然後想到二分來算就完事。在這題的數據方面，第一組中有一個數據的q=1的時候，用逆元來算的話會錯，需要特判一下才能過第一組數據，但是第二組數據就不行啦，我專門寫的一個小的數據，讓暴力很快就可以跑出答案的數據發現問題，第三組數據是1e9的數據專門卡暴力的，第四組是t=1e5的，不爲別的就卡你cin cout2333333。賽前預期：前期會有幾個人手速及快用逆元的方法來做，然後wa好多次，後面發現問題想了一會用二分過了，後面就會有人陸陸續續的過，也有人死磕wa十幾次怎麼都想不到正解，也有人一上來就發現mod有問題，但是想不到正解，本以爲在賽場上一共會提交50-100次，然後差不多五個人過題但是..
沒想到全場沒一個人過，wa了好多次，好多人都沒有提交，可能是想不到正解也可能寫完了不敢交。
是我太壞了，但是ICPC是殘酷的你想得到就可以拿銀，想不到就是鐵，lwp和zq給我驗題的時候都是直接想到了二分過了，所以ACM任重而道遠啊。
代碼：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define qq printf("QAQ\n");
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
const int mod=998424353;
const int inf=0x3f3f3f3f;
ll quick_pow(ll a,int n)
{
ll ans=1;
while(n)
{
if(n&1)ans=ans*a%mod;
n/=2;
a=a*a%mod;
}
return ans;
}
ll RNG(int q,int n)
{
if(n==1)return 1;
if(n%2==0)return RNG(q,n/2)*(1+quick_pow(q,n/2))%mod;
else return RNG(q,n/2)*(1+quick_pow(q,n/2))%mod+quick_pow(q,n-1);
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
ll a,n,q;
scanf("%lld%lld%lld",&a,&q,&n);
printf("%lld\n",(a*RNG(q,n)%mod+mod)%mod);
}
return 0;
}