快速冪

快速冪是非常實用的一種工具，也是一項很基礎的技能

對於冪運算，我們可以這麼理解：
設有b,p,k三個數值，求出 b^p mod k 的值

首先，看到這個問題，腦子中便想到了暴力，一重循環，一邊進行乘法運算，一邊模運算，爽歪歪
但是當數值更大的時候，會怎麼樣呢？ 用暴力爲正解弔唁
線性如果也會超時呢？
得想出更快的解法了 分治大法好

對於b^p，我們何嘗不能想象爲 b^(p/2) * b^(p/2) 呢？
由此我們又可以分爲 b^(p/4) * b^(p/4) * b^(p/4) * b^(p/4)
總結以上，便可以得到：b^p = b^(p/n) * b^(p/n) * … *b^(p/n) （運算個數爲log2爲底n的對數次）
這何嘗不是一種分解，分解，再分解的運算呢？
好吧，這就是分治。 分解的過程，我們便可以用遞歸來解決

使用遞歸的話，首先重要的便是邊界了
對此，我們可以抉擇出兩種最特殊，最簡單的邊界

	if (p == 0) return 1;   //所有數的0次方都是1
	
	if (p == 1) return b;    //所有數的一次方無非是原數

當然，我們現在已經解決了最簡的子問題了，便是要向上“昇華”一下了——求部分的冪值
由於是遞歸的方法，便是可以直接的調用來層層分解了
但是最重要的，我們要搞清楚，我們分解的是什麼？——是p，是b的指數
對於不同性質的p我們是要有不同的解決策略的
我們可以將p分成奇數和偶數來解決
對於比較不同得到奇數，我們進行不同的運算
姑且設t爲b的一個局部的，進行拆分過的（運算完成所有偶數部分的）冪值，每一個奇數，對於2的取餘的值，便都是1，那麼，我們可以想象目前運算的，是最後一步，那麼當前的值，無非是 ttb
之後，便是偶數的情況了
偶數時是最簡易的情況了，可以直接爲 t*t
把以上的漢語用程序語言表達出來
便是

	if (p % 2 == 0) return t * t;   //偶數情況
		else
			return t * t * b;    //奇數情況

但是，我們還有一步不能省略，便是重要的取模了，
用指數級的大整數進行運算的話，算到中間還沒有取模的時候就已經爆了
在這裏分享一個取模的公式：
b * b mod k = (b mod k) * (b mod k) mod k

完整的代碼如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long b,p,k;

long long counting(long long b,long long p,long long k)
{
	if (p == 0) return 1 % k;    //邊界
	
	if (p == 1) return b % k;
	
	long long t = counting(b,p/2,k);   //算局部冪值
	
	if (p % 2 == 0) return (t % k) * (t % k) % k;   //綜合“昇華”
		else
			return (t % k) * (t % k) % k * (b % k) % k;
}

int main()
{
	cin>>b>>p>>k;
	
	cout<<counting(b,p,k);
}