MIT_Linear_Algebra_lec17: 正交基、正交矩陣和施密特正交化

Lecture 17: Orthogonal Matrices and Gram-Schmidt

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標準正交基

$q_i^Tq_j = \left\{\begin{array}{cc} 1 (i = j) \\ 0(i ≠ j) \\ \end{array}\right.$

正交矩陣

定義

Q是正交矩陣，當它的各個列向量都相互正交的時候。

$Q = [q_1 q_2 q_3 ....]$ ($q_i 是列向量$)

性質

如果Q是正交矩陣，那麼

$Q^TQ = \left[ \begin{matrix} \ q_1^T\\ \ q_2^T\\ \ .... \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \ q_1 & q_2 & .... \end{matrix} \right] = I$（單位矩陣）
如果Q還是方的，那麼Q存在可逆矩陣，並且
$Q^T = Q^-1$

正交矩陣的投影矩陣

P是投影到正交矩陣Q的列空間所對應的投影矩陣。

• 據前幾講，

  $P = Q(Q^TQ)^-1Q^T = QQ^T$

  如果Q是方陣，那麼 $P = I$

• 據前幾講， P 滿足 $P = P^T$, $P^2 = P$ 在這裏同樣成立

施密特正交化

過程

如上圖，a和b是兩個不相互正交的分量。

施密特正交化就是找到b中與a正交的分量。

• 方法：
  將b投影到a上，b - 投影分量 = e 就是所要求的。

• 據前幾講，$e = b - (A^Tb/A^TA)A$, 若要歸一化再除以長度

一個例子：