如何確定高斯濾波的標準差和窗口大小 - Mr-Lee - 博客園

高斯函數與高斯濾波

一維高斯函數我們都熟悉，形式如下：

計算機視覺中，高斯濾波使用的高斯核爲\(x\)和\(y\)兩個一維高斯的乘積，兩個維度上的標準差\(\sigma\)通常相同，形式如下：

高斯濾波（平滑），即用某一尺寸的二維高斯核與圖像進行卷積。高斯核是對連續高斯函數的離散近似，通常對高斯曲面進行離散採樣和歸一化得出，這裏，歸一化指的是卷積核所有元素之和爲1，下圖爲標準高斯和\(\sigma=1.4\)大小爲\(5\times5\)的高斯核。

標準差

當μ=0時，唯一需要控制的參數就是標準差σ，多少合適呢？σ的確定十分依賴於問題背景，需要具體問題具體分析。但理解σ的作用，可以指導調整的方向。

高斯核可以看成是與中心距離負相關的權重。平滑時，調整σ實際是在調整週圍像素對當前像素的影響程度，調大σ即提高了遠處像素對中心像素的影響程度，濾波結果也就越平滑。高斯曲線隨σ變化的曲線如下：

從頻域角度看，高斯函數的傅立葉變換仍是高斯，兩者標準差間的關係如下：

其中，σx爲空域高斯的標準差，σw爲對應頻域高斯的標準差，在空域進行高斯平滑相當於頻域低通濾波，σx越大，σw越小，頻域高斯越集中，高頻成分削弱得越多，圖像越平滑。

從低通濾波角度考慮，可以對圖像做傅立葉變換進行頻譜分析，疊加上頻域高斯並調整查看效果，找到適合的σw，再推算出空域高斯所需的σx。

標準差σ確定後，接下來需要確定窗口大小。上面講了高斯核是對連續高斯的離散近似，窗口越大自然近似越好，但高斯函數是鐘形曲線，距離中心越遠數值越小，足夠遠處可以忽略不計，但多遠算遠呢？

鍾型曲線在區間(μ−σ,μ+σ)範圍內的面積佔曲線下總面積的68%，(μ−2σ,μ+2σ)範圍佔95%，(μ−3σ,μ+3σ)範圍佔99.7%，一般3σ外的數值已接近於0，可忽略，半徑爲3σ即窗口大小爲6σ × 6σ即可，通常取最近的奇數。上述3個範圍在一維和二維高斯中示意如下：

在OpenCV函數createGaussianFilter中，若未指定窗口大小，通過σ推算窗口大小方式如下，半徑爲σ的3或4倍：

若指定了窗口大小，但未指定σ大小，則通過窗口大小推算σ的方式如下：

具體地，在函數getGaussianKernel中，當ksize不大於7時，直接從內部的small_gaussian_tab取對應大小的高斯核，若大於7，則使用上式計算出σ然後套用高斯公式，最後再歸一化。

在實際使用時，爲了高效，卷積核通常取[0, 255]範圍內的整數（1個Byte），因此高斯核中心最大取值爲255時，窗口尺寸的選取只需讓高斯核邊界值剛好大於0即可。令高斯核尺寸爲n，半徑爲r，r = (n-1)/2，高斯核x軸上邊界(r, 0)處與中心(0, 0)處數值之比如下：

當r足夠大，其極限爲，若中心值爲255，則邊界值爲255*0.00386592=0.9858096，是合適的。但公式是如何設計出來的還不清楚，這裏只是校驗了其性質，sigh。