斐波那契數列
1、寫一個函數，輸入n,求斐波那契數列的第n項。斐波納挈數列的定義如下：
解法一：使用遞歸解決
long long RecurFibonacci(unsigned int n)
{
if (n <= 0)
{
return 0;
}
if (n == 1)
{
return 1;
}
return RecurFibonacci(n - 1) + RecurFibonacci(n - 2);
}分析：思路簡單理解，但是效率很低，面試官不一定會喜歡。因爲在進行遞歸時，會重複的計算。
解法二：非遞歸的解法（面試官期待的解法）
long long Fibonacci(unsigned int n)
{
long long fib[2] = { 0,1 };
if (n < 2)
{
return fib[n];
}
long long fibOne = 0;//保留Fibonacci（n-2）
long long fibTwo = 1;//保留Fibonacci（n-1）
long long fibN = 0;//第n個Fibonacci序列的結果
for (unsigned int i = 2; i <= n; i++)
{
fibN = fibOne + fibTwo;
fibOne = fibTwo;
fibTwo = fibN;
}
return fibN;
}分析：程序的可讀性雖然比較差，但是其效率很高。
測試代碼：
#include<iostream>
#include<Windows.h>
using namespace std;
int main()
{
int start = GetTickCount();//從操作系統啓動所經過（elapsed）的毫秒數
RecurFibonacci(40);
int end = GetTickCount();
cout <<"遞歸解法："<< end - start << endl;
start = GetTickCount();
Fibonacci(40);
end = GetTickCount();
cout << "非遞歸解法：" << end - start << endl;
getchar();
return 0;
}
2、跳臺階
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
解法分析：
最簡單的情況：
如果只有1級臺階，那麼顯然只有一種跳法。如果有2級臺階，那麼則會有2種跳法：一種是分兩次跳，每次跳1階；另外一種則是一次跳2級。
一般情況：
當n大於2時，第一次跳的時候有兩種選擇：一種是第一次只跳1階，此時的跳法就是f(n-1),另外一種跳法就是第一次跳2階，然後此時的跳法就是f(n-2)。所以總的次數就是f(n)=f(n-1)+f(n-2);很明顯此時是一個斐波那契數列。
long long jumpFloor( unsigned int number)
{
unsigned int jump[2] = { 0,1 };
if (number < 2)
{
return jump[number];
}
long long jumpOne = 1;
long long jumpTwo = 1;
long long jumpN = 0;
//n>2時爲斐波那契數列
//跳一階則方法爲jumpFloor(n-1)
//跳兩階則方法爲jumpFloor(n-2)
for (unsigned int i = 2; i <= number; i++)
{
jumpN = jumpOne + jumpTwo;
jumpOne = jumpTwo;
jumpTwo = jumpN;
}
return jumpN;
}3、變態跳臺階
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
解法分析：
使用數學歸納法：
1）當n爲1的時候，只有1種跳法
2）當n爲2的時候，可以有（1,1）和（2）共2種跳法
3）當n爲3的時候，可以有（1,1,1）、（1,2）、（2，1）、（3）共4種跳法
4）當n爲4的時候，可以有（1,1,1,1）、（1、2、1）、（1、3）、（1、1、2）、（2，1,1）、（2,2）、（3,1）、（4）共8種跳法
.......
由數學歸納法得f(n)=2的（n-1）次方。
long long jumpFloorII(unsigned int number) {
if (number <= 0)
{
return 0;
}
return pow(2, number - 1);
}4、矩形覆蓋
我們可以用2*1的小矩形橫着或者豎着去覆蓋更大的矩形。請問用n個2*1的小矩形無重疊地覆蓋一個2*n的大矩形，總共有多少種方法？
解法分析：
假設當n爲1的時候，只有1種覆蓋方法
當n>2時，覆蓋大矩形的最左邊時有2種覆蓋方法：當豎着放的時候右邊還剩下2*(n-1)個區域，此時的覆蓋方法爲f(n-1);當橫着放的時候，那麼最左下角也必須橫着放，那麼右邊還剩下2*（n-2）個矩形，此時的方法爲f(n-2);總的方法爲f(n)=f(n-1)+f(n-2),又是斐波納挈數列。
long long rectCover(unsigned int number) {
if (number < 1)
{
return 0;
}
long long stepOne = 0;
long long stepTwo = 1;
long long step = 0;
for (unsigned int i = 1; i <= number; i++)
{
step = stepOne + stepTwo;
stepOne = stepTwo;
stepTwo = step;
}
return step;
}