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一.本文所涉及的內容(Contents)
二.背景(Contexts)
之前使用SQL把十進制的整數轉換爲三十六進制,SQL代碼請參考:SQL Server 進制轉換函數,其實它是基於二、八、十、十六進制轉換的計算公式的,進制之間的轉換是很基礎的知識,但是我發現網絡上沒有一篇能把它說的清晰、簡單、易懂的文章,所以我才寫這篇文章的念頭,希望能讓你再也不用擔心、害怕進制之間的轉換了。
下面是二、八、十、十六進制之間關係的結構圖:
(Figure1:進制關係結構圖)
下文會分4個部分對這個圖進行分解,針對每個部分會以圖文的形式進行講解:
(二、八、十六進制) → (十進制);
(十進制) → (二、八、十六進制);
(二進制) (八、十六進制);
(八進制) (十六進制);
三.進制轉換算法(Convert)
在數字後面加上不同的字母來表示不同的進位制。B(Binary)表示二進制,O(Octal)表示八進制,D(Decimal)或不加表示十進制,H(Hexadecimal)表示十六進制。例如:(101011)B=(53)O=(43)D=(2B)H
(一) (二、八、十六進制) → (十進制)
(Figure2:其他進制轉換爲十進制)
方法:二進制數從低位到高位(即從右往左)計算,第0位的權值是2的0次方,第1位的權值是2的1次方,第2位的權值是2的2次方,依次遞增下去,把最後的結果相加的值就是十進制的值了。
例:將二進制的(101011)B轉換爲十進制的步驟如下:
1. 第0位 1 x 2^0 = 1;
2. 第1位 1 x 2^1 = 2;
3. 第2位 0 x 2^2 = 0;
4. 第3位 1 x 2^3 = 8;
5. 第4位 0 x 2^4 = 0;
6. 第5位 1 x 2^5 = 32;
7. 讀數,把結果值相加,1+2+0+8+0+32=43,即(101011)B=(43)D。
方法:八進制數從低位到高位(即從右往左)計算,第0位的權值是8的0次方,第1位的權值是8的1次方,第2位的權值是8的2次方,依次遞增下去,把最後的結果相加的值就是十進制的值了。
八進制就是逢8進1,八進制數採用 0~7這八數來表達一個數。
例:將八進制的(53)O轉換爲十進制的步驟如下:
1. 第0位 3 x 8^0 = 3;
2. 第1位 5 x 8^1 = 40;
3. 讀數,把結果值相加,3+40=43,即(53)O=(43)D。
方法:十六進制數從低位到高位(即從右往左)計算,第0位的權值是16的0次方,第1位的權值是16的1次方,第2位的權值是16的2次方,依次遞增下去,把最後的結果相加的值就是十進制的值了。
十六進制就是逢16進1,十六進制的16個數爲0123456789ABCDEF。
例:將十六進制的(2B)H轉換爲十進制的步驟如下:
1. 第0位 B x 16^0 = 11;
2. 第1位 2 x 16^1 = 32;
3. 讀數,把結果值相加,11+32=43,即(2B)H=(43)D。
(二) (十進制) → (二、八、十六進制)
(Figure3:十進制轉換爲其它進制)
方法:除2取餘法,即每次將整數部分除以2,餘數爲該位權上的數,而商繼續除以2,餘數又爲上一個位權上的數,這個步驟一直持續下去,直到商爲0爲止,最後讀數時候,從最後一個餘數讀起,一直到最前面的一個餘數。
例:將十進制的(43)D轉換爲二進制的步驟如下:
1. 將商43除以2,商21餘數爲1;
2. 將商21除以2,商10餘數爲1;
3. 將商10除以2,商5餘數爲0;
4. 將商5除以2,商2餘數爲1;
5. 將商2除以2,商1餘數爲0;
6. 將商1除以2,商0餘數爲1;
7. 讀數,因爲最後一位是經過多次除以2纔得到的,因此它是最高位,讀數字從最後的餘數向前讀,101011,即(43)D=(101011)B。
(Figure4:圖解十進制 → 二進制)
(四) (八進制) (十六進制)
(Figure14:八進制與十六進制之間的轉換)
方法:將八進制轉換爲二進制,然後再將二進制轉換爲十六進制,小數點位置不變。
例:將八進制的(327)O轉換爲十六進制的步驟如下:
1. 3 = 011;
2. 2 = 010;
3. 7 = 111;
4. 0111 = 7;
5. 1101 = D;
6. 讀數,讀數從高位到低位,D7,即(327)O=(D7)H。
(Figure15:圖解八進制 → 十六進制)
方法:將十六進制轉換爲二進制,然後再將二進制轉換爲八進制,小數點位置不變。
例:將十六進制的(D7)H轉換爲八進制的步驟如下:
1. 7 = 0111;
2. D = 1101;
3. 0111 = 7;
4. 010 = 2;
5. 011 = 3;
6. 讀數,讀數從高位到低位,327,即(D7)H=(327)O。
(Figure16:圖解十六進制 → 八進制)
四.擴展閱讀
1. 包含小數的進制換算:
(ABC.8C)H=10x16^2+11x16^1+12x16^0+8x16^-1+12x16^-2
=2560+176+12+0.5+0.046875
=(2748.546875)D
2. 負次冪的計算:
2^-5=2^(0-5)=2^0/2^5=1/2^5
同底數冪相除,底數不變,指數相減,反過來
3. 我們需要了解一個數學關係,即23=8,24=16,而八進制和十六進制是用這關係衍生而來的,即用三位二進制表示一位八進制,用四位二進制表示一位十六進制數。接着,記住4個數字8、4、2、1(23=8、22=4、21=2、20=1)。