PageRank算法原理
PageRank的計算充分利用了兩個假設：數量假設和質量假設。步驟如下：
1）在初始階段：網頁通過鏈接關係構建起Web圖，每個頁面設置相同的PageRank值，通過若干輪的計算，會得到每個頁面所獲得的最終PageRank值。隨着每一輪的計算進行，網頁當前的PageRank值會不斷得到更新。
2）在一輪中更新頁面PageRank得分的計算方法：在一輪更新頁面PageRank得分的計算中，每個頁面將其當前的PageRank值平均分配到本頁面包含的出鏈上，這樣每個鏈接即獲得了相應的權值。而每個頁面將所有指向本頁面的入鏈所傳入的權值求和，即可得到新的PageRank得分。當每個頁面都獲得了更新後的PageRank值，就完成了一輪PageRank計算。
(常言道，看一個人怎樣，看他有什麼朋友就知道了。也就是說，一個人有着越多牛X朋友的人，他是牛X的概率就越大。將這個知識遷移到網頁上就是“被越多優質的網頁所指的網頁，它是優質的概率就越大”。
PageRank的核心思想就是上述簡單卻有效的觀點。)
PageRank算法優缺點
優點：
是一個與查詢無關的靜態算法，所有網頁的PageRank值通過離線計算獲得；有效減少在線查詢時的計算量，極大降低了查詢響應時間。
缺點：
人們的查詢具有主題特徵，PageRank忽略了主題相關性，導致結果的相關性和主題性降低
舊的頁面等級會比新頁面高。因爲即使是非常好的新頁面也不會有很多上游鏈接，除非它是某個站點的子站點。
該算法在初期的時候一直都是基於鏈接分析的,而一個網頁上的鏈接包含很多:比如廣告鏈接、功能鏈接、導航鏈接、以及多次重複的無效鏈接等等,這些鏈接都會被該算法計算在pr值傳遞之中,所以不能夠對網頁降噪之後在進行處理
基本思想：
如果網頁T存在一個指向網頁A的連接，則表明T的所有者認爲A比較重要，從而把T的一部分重要性得分賦予A。這個重要性得分值爲：PR（T）/ L(T)
其中PR（T）爲T的PageRank值，L(T)爲T的出鏈數
則A的PageRank值爲一系列類似於T的頁面重要性得分值的累加。
即一個頁面的得票數由所有鏈向它的頁面的重要性來決定，到一個頁面的超鏈接相當於對該頁投一票。一個頁面的PageRank是由所有鏈向它的頁面（鏈入頁面）的重要性經過遞歸算法得到的。一個有較多鏈入的頁面會有較高的等級，相反如果一個頁面沒有任何鏈入頁面，那麼它沒有等級。
3.3 PageRank簡單計算：
假設一個由只有4個頁面組成的集合：A，B，C和D。如果所有頁面都鏈向A，那麼A的PR（PageRank）值將是B，C及D的和。
繼續假設B也有鏈接到C，並且D也有鏈接到包括A的3個頁面。一個頁面不能投票2次。所以B給每個頁面半票。以同樣的邏輯，D投出的票只有三分之一算到了A的PageRank上。
換句話說，根據鏈出總數平分一個頁面的PR值。
如圖1 所示的例子來說明PageRank的具體計算過程。
修正PageRank計算公式：
由於存在一些出鏈爲0，也就是那些不鏈接任何其他網頁的網， 也稱爲孤立網頁，使得很多網頁能被訪問到。因此需要對 PageRank公式進行修正，即在簡單公式的基礎上增加了阻尼係數（dampingfactor）q， q一般取值q=0.85。
其意義是，在任意時刻，用戶到達某頁面後並繼續向後瀏覽的概率。 1- q= 0.15就是用戶停止點擊，隨機跳到新URL的概率）的算法被用到了所有頁面上，估算頁面可能被上網者放入書籤的概率。
最後，即所有這些被換算爲一個百分比再乘上一個係數q。由於下面的算法，沒有頁面的PageRank會是0。所以，Google通過數學系統給了每個頁面一個最小值。
所以一個頁面的PageRank是由其他頁面的PageRank計算得到。Google不斷的重複計算每個頁面的PageRank。如果給每個頁面一個隨機PageRank值（非0），那麼經過不斷的重複計算，這些頁面的PR值會趨向於正常和穩定。這就是搜索引擎使用它的原因。
(一個很顯然的結論是，如果連通圖中有一個頂點的入度爲0，則經過有限次迭代之後，該連通圖內的所有頂點的PageRank均爲0，形象的說，這個頂點就像一個黑洞一樣，把整體的PageRank值慢慢地“吸收”了。由於它不對外貢獻任何PR值，所以整體的PR總和是在不斷地減少，直到最終收斂到0。我把它稱之爲：PageRank的“黑洞效應”。至於說Google是如何防止這種情況的發生，畢竟一個網站沒有外鏈是完全有可能的，我也尚未找到確切的答案。不過網上道是有人給出了一種解決辦法：即如果一個網站沒有外鏈，那麼就假定該連通圖內其餘所有的網點都是它的外鏈，這樣我們就避免了整體PageRank值被吸收的現象)
PageRank冪法計算(線性代數應用)
完整公式：
是被研究的頁面，
是
鏈入頁面的數量，
是鏈出頁面的數量，而N是所有頁面的數量。
PageRank值是一個特殊矩陣中的特徵向量。這個特徵向量爲：
R是如下等式的一個解：
如果網頁i有指向網頁j的一個鏈接，則
否則
＝0。
4.2 使用冪法求PageRank
PageRank 公式可以轉換爲求解
的值，
其中矩陣爲 A = q*P + (1-q) * e
/N 。 P 爲概率轉移矩陣，e 爲 n 維的全 1 行. 則 e=
冪法計算過程如下：
X 設任意一個初始向量, 即設置初始每個網頁的 PageRank值均。一般爲1.
R = AX;
while (1 )(
if ( l X - R I <ε ) { //如果最後兩次的結果近似或者相同，返回R
returnR;
} else {
X =R;
R = AX;
}
}
求解步驟：
一、 P概率轉移矩陣的計算過程:
先建立一個網頁間的鏈接關係的模型,即我們需要合適的數據結構表示頁面間的連接關係。
1) 首先我們使用圖的形式來表述網頁之間關係：
現在假設只有四張網頁集合：A、B、C，其抽象結構如下圖1：
圖1 網頁間的鏈接關係
顯然這個圖是強連通的（從任一節點出發都可以到達另外任何一個節點）。
2）我們用矩陣表示連通圖：
用鄰接矩陣 P表示這個圖中頂點關係 ，如果頂（頁面）i向頂點（頁面）j有鏈接情況，則Pij = 1，否則Pij = 0。如圖2所示。如果網頁文件總數爲N ，那麼這個網頁鏈接矩陣就是一個N*N 的矩陣 。
3）網頁鏈接概率矩陣
然後將每一行除以該行非零數字之和，即（每行非0數之和就是鏈接網個數）則得到新矩陣P’，如圖3所示。 這個矩陣記錄了 每個網頁跳轉到其他網頁的概率，即其中i行j列的值表示用戶從頁面i 轉到頁面j的概率。圖1 中A頁面鏈向B、C，所以一個用戶從A跳轉到B、C的概率各爲1/2。
4）概率轉移矩陣P
採用P’ 的轉置矩 陣進行計算， 也就是上面提到的概率轉移矩陣P 。 如圖4所示：
二、 A矩陣計算過程。
1）P概率轉移矩陣 :
2）e/N 爲：
3）A矩陣爲：q × P + ( 1 一 q) * e /N= 0.85 × P + 0.15 *e /N
初始每個網頁的 PageRank值均爲1 ，即X~t = ( 1 ， 1 ， 1 ) 。
三、 循環迭代計算PageRank的過程
第一步：
因爲X 與R的差別較大。 繼續迭代。
第二步：
繼續迭代這個過程...
直到最後兩次的結果近似或者相同，即R最終收斂，R 約等於X，此時計算停止。最終的R 就是各個頁面的 PageRank 值。
用冪法計算PageRank 值總是收斂的，即計算的次數是有限的。
不論初始值如何選取，這種算法都保證了網頁排名的估計值能收斂到他們的真實值。
由於互聯網上網頁的數量是巨大的，上面提到的二維矩陣從理論上講有網頁數目平方之多個元素。如果我們假定有十億個網頁，那麼這個矩陣就有一百億億個元素。這樣大的矩陣相乘，計算量是非常大的。Larry Page和Sergey Brin兩人利用稀疏矩陣計算的技巧，大大的簡化了計算量。