LIS - 最長上升子序列 （二分優化）

題目：

    長度爲n的序列a1, a2, ..., an,選出滿足 j < i 時, a[j] < a[i] 最長子序列

分析：

    當選擇第i個時候，在j<i中，選出a[j]<a[i]的數加入，維護最大長度

    狀態：dp[i]表示以i爲終點的最大上升序列

    轉移方程：  

    dp[i] = max{dp[j] | j<i, a[j]<a[i]} + 1;

核心：

for(i = 1; i<=n; i++)
{
    dp[i] = 1;
    for(j = 1; j<i; j++)
    {
        if(a[i]>a[j])
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
}

代碼：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>
#include <time.h>

using namespace std;

int v[10000+10];
int dp[10000+10];

int main()
{
    //freopen("a.txt", "r", stdin);
    int n, i, j, ans;
    while(~scanf("%d", &n) && n)
    {
        for(i = 1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d", &v[i]);
        }
        ans = 0;
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(i = 1; i<=n; i++)
        {
            dp[i] = 1;
            for(j = i-1; j>=1; j--)
            {
                if(v[i] > v[j])
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            ans = max(ans, dp[i]);
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

二分優化：

    如果子序列長度相同，則終點越小，則後面增長的潛能就越大

    所以，將長度相同的位置設成其中最小值

    狀態：dp[i]表示長度爲i的序列中終點最小的值

    轉移：因爲dp[i]單調遞增，若a[j]>dp[i],則加入其後，若a[j]<dp[i],更新相應終點

優化代碼：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>

using namespace std;

#define INF 0x7f7f7f7f
#define MAX 1000+10

int a[MAX];
int dp[MAX];

int main()
{
	freopen("a.txt", "r", stdin);

	int n, i, j;
	while(~scanf("%d", &n) && n)
	{
		fill(dp, dp+n, INF);
		for(i = 1; i<=n; i++)
		{
			scanf("%d", &a[i]);
		}
		for(i = 1; i<=n; i++)
		{
			*lower_bound(dp, dp+n, a[i]) = a[i];
		}
		printf("%d\n", lower_bound(dp, dp+n, INF) - dp);
	}
	return 0;
}

PS(有序二分搜索)：

    1、lower_bound(first, last, value);返回一個指針，指向ai>= value的第一個元素。

    2、upper_bound(first, last, value);返回一個指針，指向ai> value的第一個元素。