一、概念
時間複雜度是總運算次數表達式中受n的變化影響最大的那一項(不含係數)
比如：一般總運算次數表達式類似於這樣：
a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f
a ！ =0時，時間複雜度就是O(2^n);
a=0,b<>0 =>O(n^3);
a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此類推
eg:
(1) for(i=1;i<=n;i++) //循環了n*n次，當然是O(n^2)
for(j=1;j<=n;j++)
s++;
(2) for(i=1;i<=n;i++)//循環了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因爲時間複雜度是不考慮係數的，所以也是O(n^2)
for(j=i;j<=n;j++)
s++;
(3) for(i=1;i<=n;i++)//循環了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,當然也是O(n^2)
for(j=1;j<=i;j++)
s++;
(4) i=1;k=0;
while(i<=n-1){ k+=10*i; i++; }//循環了n-1≈n次，所以是O(n)(5) for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
for(k=1;k<=j;k++)
x=x+1;
//循環了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(這個公式要記住哦)≈(n^3)/3，不考慮係數，自然是O(n^3)
另外，在時間複雜度中，log(2,n)(以2爲底)與lg(n)(以10爲底)是等價的，因爲對數換底公式：
log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)
所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉係數，二者當然是等價的
二、計算方法1.一個算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試，只需知道哪個算法花費的時間多，哪個算法花費的時間少就可以了。並且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。
一個算法中的語句執行次數稱爲語句頻度或時間頻度。記爲T(n)。
2.一般情況下，算法的基本操作重複執行的次數是模塊n的某一個函數f（n），因此，算法的時間複雜度記做：T（n）=O（f（n））。隨着模塊n的增大，算法執行的時間的增長率和f（n）的增長率成正比，所以f（n）越小，算法的時間複雜度越低，算法的效率越高。
在計算時間複雜度的時候，先找出算法的基本操作，然後根據相應的各語句確定它的執行次數，再找出T（n）的同數量級（它的同數量級有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出後，f（n）=該數量級，若T(n)/f(n)求極限可得到一常數c，則時間複雜度T（n）=O（f（n））。
3.常見的時間複雜度
按數量級遞增排列，常見的時間複雜度有：
常數階O(1), 對數階O(log2n), 線性階O(n), 線性對數階O(nlog2n), 平方階O(n^2)， 立方階O(n^3),...， k次方階O(n^k), 指數階O(2^n) 。
其中，1.O(n)，O(n^2)， 立方階O(n^3),...， k次方階O(n^k) 爲多項式階時間複雜度，分別稱爲一階時間複雜度，二階時間複雜度。。。。2.O(2^n)，指數階時間複雜度，該種不實用3.對數階O(log2n), 線性對數階O(nlog2n)，除了常數階以外，該種效率最高
例：算法：
for（i=1;i<=n;++i）
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
c[ i ][ j ]=0; //該步驟屬於基本操作 執行次數：n^2 for(k=1;k<=n;++k)
c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //該步驟屬於基本操作 執行次數：n^3
}
}
則有 T（n）= n^2+n^3，根據上面括號裏的同數量級，我們可以確定 n^3爲T（n）的同數量級
則有f（n）= n^3，然後根據T（n）/f（n）求極限可得到常數c
則該算法的 時間複雜度：T（n）=O（n^3)
四、定義：如果一個問題的規模是n，解這一問題的某一算法所需要的時間爲T(n)，它是n的某一函數
T(n)稱爲這一算法的“時間複雜性”。
當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱爲算法的“漸近時間複雜性”。
我們常用大O表示法表示時間複雜性，注意它是某一個算法的時間複雜性。大O表示只是說有上界，由定義如果f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)，它給你一個上界，但並不是上確界，但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。
此外，一個問題本身也有它的複雜性，如果某個算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界，那就稱這樣的算法是最佳算法。
“大O記法”：在這種描述中使用的基本參數是
n，即問題實例的規模，把複雜性或運行時間表達爲n的函數。這裏的“O”表示量級 (order)，比如說“二分檢索是 O(logn)的”,也就是說它需要“通過logn量級的步驟去檢索一個規模爲n的數組”記法 O ( f(n) )表示當 n增大時，運行時間至多將以正比於 f(n)的速度增長。
這種漸進估計對算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，一個低附加代價的O(n2)算法在n較小的情況下可能比一個高附加代價的 O(nlogn)算法運行得更快。當然，隨着n足夠大以後，具有較慢上升函數的算法必然工作得更快。
O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;
以上三條單個語句的頻度均爲1，該程序段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。算法的時間複雜度爲常數階，記作T(n)=O(1)。如果算法的執行時間不隨着問題規模n的增加而增長，即使算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類算法的時間複雜度是O(1)。
O(n^2)
2.1.
交換i和j的內容
sum=0； （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）
for(j=1;j<=n;j++)
（n^2次 ）
sum++； （n^2次 ）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)
2.2.
for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for
(j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}
解：
語句1的頻度是n-1
語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
該程序的時間複雜度T(n)=O(n^2).
O(n)
2.3.
a=0;
b=1; ①
for
(i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b; ③
b=a; ④
a=s; ⑤
}
解：語句1的頻度：2,
語句2的頻度：
n,
語句3的頻度： n-1,
語句4的頻度：n-1,
語句5的頻度：n-1,
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
O(log2n
)
2.4.
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解： 語句1的頻度是1,
設語句2的頻度是f(n), 則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)=
log2n,
T(n)=O(log2n )
O(n^3)
2.5.
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解：當i=m,
j=k的時候,內層循環的次數爲k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這裏最內循環共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間複雜度爲O(n^3).
我們還應該區分算法的最壞情況的行爲和期望行爲。如快速排序的最
壞情況運行時間是 O(n^2)，但期望時間是 O(nlogn)。通過每次都仔細 地選擇基準值，我們有可能把平方情況 (即O(n^2)情況)的概率減小到幾乎等於 0。在實際中，精心實現的快速排序一般都能以 (O(nlogn)時間運行。
下面是一些常用的記法：
訪問數組中的元素是常數時間操作，或說O(1)操作。一個算法如 果能在每個步驟去掉一半數據元素，如二分檢索，通常它就取 O(logn)時間。用strcmp比較兩個具有n個字符的串需要O(n)時間。常規的矩陣乘算法是O(n^3)，因爲算出每個元素都需要將n對
元素相乘並加到一起，所有元素的個數是n^2。
指數時間算法通常來源於需要求出所有可能結果。例如，n個元 素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的算法將是O(2n)的。指數算法一般說來是太複雜了，除非n的值非常小，因爲，在 這個問題中增加一個元素就導致運行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名的“巡迴售貨員問題” )，到目前爲止找到的算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況，通常應該用尋找近似最佳結果的算法替代之。 |
