開始……
（一）
阿黃是大家敬愛的警官，他性格開朗，身體強壯，是大家心目中健康的典範。但是，近一個月來阿黃的身體狀況出現異常：情緒失控的狀況時有發生。有時候忍不住放聲大笑，有時候有時候愁眉不展，有時候老淚縱橫，有時候勃然大怒……
如此變化無常的情緒失控是由什麼引起的呢？據警隊同事勇男描述，由於複習考試寢室不熄燈與多媒體作業的困擾，阿黃近日出現了失眠等症狀；與此同時，阿黃近日登陸一個叫做“xiaonei網”的網站十分頻繁。經醫生進一步診斷，由於其他人也遇到同樣的考試壓力、作息不規律的情況而並未出現情緒失控；並且，其它登陸XIAONEI網的衆多同學表現正常，因此可基本排除它們是情緒失控的原因。黃SIR的病情一度陷入僵局……
最近，阿黃的病情有了新的眉目：據一位對手相學與占卜術十分精通的小巫婆透露，阿黃曾經私下請她對自己的病情進行診斷。經過觀察與分析終於有了重大發現：原來阿黃的病情正在被潛伏在他體內的三種侍神控制！他們是：修羅王、阿修羅、羅剎神。
據悉，這三種侍神是情緒積聚激化而形成的自然神靈，他們相剋相生，是遊離於個體意識之外的精神產物，可以對人的情緒起到支配作用。每一天，都會有一位侍神主宰阿黃的情緒。並且，不同的侍神會導致不同的情緒突然表現。然而，當前的科技水平無法幫助我們診斷，當前哪位侍神是主宰侍神；更糟的是，不同的侍神(3個)與不同的情緒（4種）並不存在顯而易見的一一對應關係。
所以，乍看上去，阿黃的病情再次陷入僵局……
我們怎樣才能把握阿黃情緒變化的規律？
我們怎樣才能通過阿黃的情緒變化，推測他體內侍神的變化規律？
關鍵詞：兩類狀態：
情緒狀態（觀察狀態）：放聲大笑，愁眉不展，老淚縱橫，勃然大怒
侍神狀態（隱狀態）：修羅王，阿修羅，羅剎神
（二）
阿黃的病情引來了很多好心人的關心。這與阿黃真誠善良的品格不無關係。關於侍神的特點，占卜師和很多好心人找來了許多珍貴資料。其中很多人經過一段時間的觀察與記錄後，在貌似毫無規律的數據背後，發現了侍神與情緒之間的內在規律！！他們在多次觀測後，建立在大量數據基礎上，表現出宏觀的內在聯繫！
由於這些好心人大部分是TONGJI大學的人，所以，這種規律被稱作統計規律。這些人被稱爲統計學家（orz太土了）…………
具體的規律被概括爲：
1. 每天，哪位侍神主宰與前一天侍神是誰有很大關係！即：前一個侍神會影響下一個侍神出現的概率多少。
三個侍神，兩兩之間的轉化的機率的大小，我們總結在一個對應表中：
便於某些自稱爲數學家的人計算，我們習慣於寫成矩陣形式：
2.每位侍神主宰時，所對應的情緒出現也有一定的規律：某種侍神出現時，情緒的出現有一定的規律性。比如，如果今天的侍神是修羅王，那麼阿黃放聲大笑的概率是不同侍神對應的不同情緒出現的機率，我們也歸納在一張表中：
便於計算，也可以寫成矩陣的格式。
3．由於每天的侍神狀態，情緒狀態都取決於前一天，所以，只有知道最開始阿黃的情緒狀態，即初始狀態，纔有可能來推導隨後的日子裏，阿黃體內的侍神和情緒的變化情況。
我們假定，阿黃體內的侍神首先出現的概率滿足下面的表格
修羅王 阿修羅 羅剎神
〔0.63 0.17 0.20〕
至此，我們已經掌握了研究阿黃情緒變化規律的所有信息，它包括：
兩類狀態：侍神狀態，情緒狀態
三種關係：侍神的轉換關係，侍神與情緒的關係，侍神的初始狀態
便於計算，我們用數學語言來定義，便於今後計算。
修羅王 阿修羅 羅剎神
初始狀態矩陣：Π＝〔0.64 0.17 0.20〕
狀態轉移矩陣：A =
兩態混合矩陣（描述侍神狀態和情緒狀態對應關係）（三）
知道了關於阿黃的這些信息後，我們能做些什麼呢？
一、估計“放聲大笑”－“老淚縱橫”－“勃然大怒”出現的概率：
“放聲大笑”－“老淚縱橫”－“勃然大怒”是一種非常危險的組合！如果某三天內阿黃出現了“放聲大笑”－“老淚縱橫”－“勃然大怒”的情緒變化，會引起嚴重精神損傷！！那麼，這種情緒組合出現的概率是多少呢？
看起來比較麻煩，因爲“放聲大笑”可以對應三種侍神；其餘兩個也可以。三天，三種侍神，所有可能爲3*3*3＝27種。
根據全概率公式：
所以：P（笑－淚－怒）＝P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－修羅王）＋P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－阿修羅）＋P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－羅剎神）＋………………＋P（笑－淚－怒 | 羅剎神－羅剎神－羅剎神）
一共27項相加，就可以把所有的可能計算出來！
可以想像，這樣的計算是災難性的。
當然，在計算機計算時，可以用遞歸法簡化計算，降低複雜度。
①我們來把每一天，阿黃的情緒狀態串起來，多天就形成一個狀態序列。其中第t天的狀態就是Ykt
②在計算序列中某一中間狀態的概率時，用所有可能到達該狀態的路徑之和表示。
比如在t=2時間，狀態爲阿修羅的概率可以用下面的路徑計算：
最後的觀察狀態的部分概率表示，這些狀態所經過的所有可能路徑的概率。比如：
③用αt ( j ) 表示在時間t時 狀態j的部分概率。計算方法如下：
αt ( j )= P( 觀察情緒 | 侍神是j ) * P(在t時間所有到j的途徑)
其中兩項相乘中的第一項我們由兩狀態混合矩陣就可以得到：
而後一項，我們需要前一項的結果來確定。這也表現了HMM每個環節的狀態是基於前一環節狀態的特點。
④如果說，每一環節都依賴前一環節，那麼最初的環節，也就是最初的狀態怎麼來計算呢？
很簡單。初始狀態Π就派上它的用場了。
比如：第一天阿黃放聲大笑，那麼：
a1（修羅王）＝0.63×0.6＝0.378
a1（阿修羅）＝0.17×0.25＝0.0425
a1（羅剎神）＝0.20×0.05＝0.01
歸納成數學式：
⑤我們說過，後一天侍神的情況是由前一天來決定的。現在，如果知道了at（j），那麼，後面一天的情況at＋1（j）也應該知道了吧。怎麼來算at＋1（j）呢？
太枯燥了～還是繼續上面的例子吧
比如，t＝2時，情緒爲老淚縱橫，侍神爲阿修羅，那麼：
a2（阿修羅）＝P（阿修羅時老淚縱橫的概率）×P(所有到達阿修羅的概率)
其中：
P(所有到達阿修羅的概率)
＝a1（修羅王）×P(修羅王→阿修羅)＋a1（阿修羅）×P（阿修羅→阿修羅）＋a1（羅剎神）×P(羅剎神→阿修羅)
＝0.378×0.25＋0.0425×0.125＋0.01×0.675
這樣，知道a1，知道at和at＋1的關係，迭代啊迭代，迭迭代代無窮匱矣……最終會找到你需要的狀態的概率的。
（而且，在編成時運用迭代可降低算法複雜度，不太懂，不多扯……）
最後，解答“放聲大笑－老淚縱橫－勃然大怒”的概率
每天的三個概率對應三位侍神
第一天：放聲大笑
(0.63 × 0.6) = 0.37800002
(0.17 ×0.25) = 0.0425
(0.2 ×0.05) = 0.010000001
第二天：老淚縱橫
(((0.37800002×0.5) + (0.0425*0.375) + (0.010000001*0.125)) * 0.15) = 0.03092813
(((0.37800002*0.25) + (0.0425*0.125) + (0.010000001*0.675)) * 0.25) = 0.026640628
(((0.37800002*0.25) + (0.0425*0.375) + (0.010000001*0.375)) * 0.35) = 0.039965626
第三天：勃然大怒
(((0.03092813*0.5) + (0.026640628*0.375) + (0.039965626*0.125)) * 0.05) = 0.0015225002
(((0.03092813*0.25) + (0.026640628*0.125) + (0.039965626*0.675)) * 0.25) = 0.009509727
(((0.03092813*0.25) + (0.026640628*0.375) + (0.039965626*0.375)) * 0.5) = 0.01635469
所以，最終所有可能加起來，“放聲大笑－老淚縱橫－勃然大怒”的概率爲
0.0015225002＋0.009509727＋0.01635469= 0.027386917
黃SIR暫時可以放心。
（四）
還有什麼應用呢？
二、由觀測狀態推測最大可能性的隱狀態，
即：由阿黃情緒變化推測體內侍神的變化
1. 還是用窮舉法吧
總之，變化是有限地，概率是知道地，每步是可算地，大小是可比地……
算一算，比一比，總能找到最可能的一條路。
只是隨着天數增長、侍神數增長等，計算的複雜度會呈指數增加，這一點很不利。
又枯燥了～再舉個例子：
比如，某三天，阿黃十分不幸地出現了“放聲大笑－老淚縱橫－勃然大怒”的情緒變化。
我們十分想知道：是怎樣的侍神組合，最可能導致這種情緒？
最佳組合要取：
MAX{P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－修羅王）,P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－阿修羅）,P（笑－淚－怒 | 修羅王－修羅王－羅剎神）,………………,P（笑－淚－怒 | 羅剎神－羅剎神－羅剎神）}
27個裏面比出一個概率最大的來，搞定～
2. 程序計算，我們用遞歸方法降低計算複雜度：
我們知道，對應於阿黃的每一個情緒狀態，侍神的變化只有一個最佳路徑，也許是這樣：
每一條 部分最優路徑都對應一個關聯概率--部分概率 （相當於前面的那個中間概率）。與前面不同 是最有可能到達該狀態的一條路徑的概率。
① 我們定義： δ(i,t)是所有序列中在t時刻以狀態i終止的最大概率。當然它所對應那條路徑就是部分最優路徑。 δ(i,t)對於每個i,t都是存在的。這樣我們就可以順藤摸瓜找下去，在序列的最後一個狀態找到整個序列的最優路徑。
②那麼，最初的狀態（t＝1）的最優路徑是什麼？我們還是要依賴初始狀態矩陣Π
這和上次的算法是一樣的。
δ(修羅王,1)＝0.378
δ(阿修羅,1)＝0.0425
δ(羅剎神,1)＝0.01
③那麼，對於時間爲t時刻的中間狀態，如何來找它的部分概率（即最佳路徑）呢？
再舉個具體例子，t時刻，到達X狀態的路徑可能有ABC三條。
由此圖可以看出，到達X的最優路徑是下面三條中的一條：
(狀態序列), . . ., A, X
(狀態序列), . . ., B, X
(狀態序列), . . ., C, X
我們就要比較：
P（到達A的最佳路徑）×P（A到達X的概率）
P（到達B的最佳路徑）×P（B到達X的概率）
P（到達C的最佳路徑）×P（C到達X的概率）
再乘以P（X（某種侍神）對應的觀測狀態（某種情緒））就可以算得狀態概率
④那麼，在t時刻對應某種觀察狀態的概率記爲δt（i），那麼
第一天，由於沒有先導，只能直接利用兩狀態轉換矩陣計算：
第t天：
δt（i）＝MAX｛δt－1（j）×P（j狀態→i狀態）×i狀態下對應觀察狀態概率｝
數學公式爲：
這樣，又可以迭迭代代無窮匱矣了～
最後，我們再來計算黃SIR“放聲大笑－老淚縱橫－勃然大怒”的最可能侍神組合：
第一天：放聲大笑
修羅王(0.63 * 0.6) = 0.37800002
阿修羅(0.17 * 0.25) = 0.0425
羅剎神(0.2 * 0.05) = 0.010000001
第二天：老淚縱橫
修羅王max ((0.37800002*0.5), (0.0425*0.375), (0.010000001*0.125)) * 0.15 = 0.028350003
阿修羅max ((0.37800002*0.25), (0.0425*0.125), (0.010000001*0.675)) * 0.25 = 0.023625001
羅剎神max ((0.37800002*0.25), (0.0425*0.375), (0.010000001*0.375)) * 0.35 = 0.033075
第三天：勃然大怒
修羅王max ((0.028350003*0.5), (0.023625001*0.375), (0.033075*0.125)) * 0.05 = 0.000708750
阿修羅max ((0.028350003*0.25), (0.023625001*0.125), (0.033075*0.675)) * 0.25 = 0.00558140
羅剎神max ((0.028350003*0.25), (0.023625001*0.375), (0.033075*0.375)) * 0.5 = 0.006201562
可見，第一天，修羅王主宰阿黃最爲可能；
第二天，由修羅王變爲羅剎神，造成阿黃老淚縱橫的可能最大；
而第三天，繼續由羅剎神主宰阿黃，造成勃然大怒的可能最大
所以，對應“放聲大笑－老淚縱橫－勃然大怒”最可能的侍神組合爲：修羅王－羅剎神－羅剎神
尾聲
一、瞭解了這個故事，我們就粗淺地瞭解了隱馬爾科夫模型的構成。它包括兩類狀態，三種關係：Π（初始狀態）A（狀態轉移矩陣）B（兩狀態混合矩陣）
二、HMM模型的初步瞭解就到這裏。其主要功能有三：
1.根據已知的HMM找出一個觀察序列的概率。（計算某種情緒組合出現概率）
2.根據觀察序列找到最有可能出現的隱狀態序列 （由情緒組合推導侍神組合）
3.從觀察序列中得出HMM （這是最難的HMM應用。也就是根據觀察序列和其代表的隱狀態，生成一個三元組HMM ( Π,A,B)。使這個三元組能夠最好的描述我們所見的一個現象規律。限於水平，不討論）
三、上面應用中，1設計到FORWARD算法，2設計Viterbi算法，可以查閱資料，都可以在程序中實現。
四、生物信息中涉及到HMM的應用有很多。在蛋白質DOMAIN描述，分子進化樹的構建中都會應用這個模型。其實大同小異：我們能看得見的就是觀察狀態：序列（情緒），而隱藏在當前序列背後的各種隱狀態：比如基因……（修羅王，阿修羅，羅剎神……）。基因發生了怎樣的進化過程，我們不能直接觀測，但可以用應用3――從觀察序列中得到HMM，用已知序列進行訓練，生成包含實際序列信息的HMM模型，就可以通過已有的序列來進行基因的人工註釋（大概是這個意思，FT）
五、感謝來自這個網站：
www.comp.leeds.ac.uk/roger/HiddenMarkovModels/html_dev/main.html
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特別感謝丁香園裏的崔曉源進行的詳盡翻譯和解釋，這篇文章的思路歸功於他的翻譯作品。
六、感謝主人公姓名雷同者的大力支持，體諒和鼓勵，以及所有帶來靈感的同學～你們讓生活更精彩！