紅黑樹算法

紅黑樹系列，六篇文章於今日已經完成：

1、教你透徹瞭解紅黑樹2、紅黑樹算法的實現與剖析3、紅黑樹的c源碼實現與剖析4、一步一圖一代碼，R-B Tree5、紅黑樹插入和刪除結點的全程演示6、紅黑樹的c++完整實現源碼

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一、紅黑樹的介紹

先來看下算法導論對R-B Tree的介紹：
紅黑樹，一種二叉查找樹，但在每個結點上增加一個存儲位表示結點的顏色，可以是Red或Black。
通過對任何一條從根到葉子的路徑上各個結點着色方式的限制，紅黑樹確保沒有一條路徑會比其
他路徑長出倆倍，因而是接近平衡的。

前面說了，紅黑樹，是一種二叉查找樹，既然是二叉查找樹，那麼它必滿足二叉查找樹的一般性質。
下面，在具體介紹紅黑樹之前，咱們先來了解下二叉查找樹的一般性質：
1.在一棵二叉查找樹上，執行查找、插入、刪除等操作，的時間複雜度爲O（lgn）。
因爲，一棵由n個結點，隨機構造的二叉查找樹的高度爲lgn，所以順理成章，一般操作的執行時間爲O（lgn）。
//至於n個結點的二叉樹高度爲lgn的證明，可參考算法導論第12章二叉查找樹第12.4節。
2.但若是一棵具有n個結點的線性鏈，則此些操作最壞情況運行時間爲O（n）。

而紅黑樹，能保證在最壞情況下，基本的動態幾何操作的時間均爲O（lgn）。

ok，我們知道，紅黑樹上每個結點內含五個域，color，key，left，right，p。如果相應的指針域沒有，則設爲NIL。

一般的，紅黑樹，滿足以下性質，即只有滿足以下全部性質的樹，我們才稱之爲紅黑樹：

1）每個結點要麼是紅的，要麼是黑的。
2）根結點是黑的。
3）每個葉結點，即空結點（NIL）是黑的。
4）如果一個結點是紅的，那麼它的倆個兒子都是黑的。
5）對每個結點，從該結點到其子孫結點的所有路徑上包含相同數目的黑結點。

下圖所示，即是一顆紅黑樹：

此圖忽略了葉子和根部的父結點。

二、樹的旋轉知識

當我們在對紅黑樹進行插入和刪除等操作時，對樹做了修改，那麼可能會違背紅黑樹的性質。

爲了保持紅黑樹的性質，我們可以通過對樹進行旋轉，即修改樹種某些結點的顏色及指針結構，以達到對紅黑樹進行

插入、刪除結點等操作時，紅黑樹依然能保持它特有的性質（如上文所述的，五點性質）。

樹的旋轉，分爲左旋和右旋，以下藉助圖來做形象的解釋和介紹：

1.左旋

如上圖所示：

當在某個結點pivot上，做左旋操作時，我們假設它的右孩子y不是NIL[T]，pivot可以爲樹內任意右孩子而不是NIL[T]的結點。

左旋以pivot到y之間的鏈爲“支軸”進行，它使y成爲該孩子樹新的根，而y的左孩子b則成爲pivot的右孩子。

來看算法導論對此操作的算法實現（以x代替上述的pivot）：

LEFT-ROTATE(T, x)
1 y ← right[x] Set y.
2 right[x] ← left[y] Turn y's left subtree into x's right subtree.

3 p[left[y]] ← x
4 p[y] ← p[x] Link x's parent to y.
5 if p[x] = nil[T]
6 then root[T] ← y
7 else if x = left[p[x]]
8 then left[p[x]] ← y
9 else right[p[x]] ← y
10 left[y] ← x Put x on y's left.
11 p[x] ← y

2.右旋

右旋與左旋差不多，再此不做詳細介紹。

對於樹的旋轉，能保持不變的只有原樹的搜索性質，而原樹的紅黑性質則不能保持，

在紅黑樹的數據插入和刪除後可利用旋轉和顏色重塗來恢復樹的紅黑性質。

至於有些書如 STL源碼剖析有對雙旋的描述，其實雙旋只是單旋的兩次應用，並無新的內容，

因此這裏就不再介紹了，而且左右旋也是相互對稱的，只要理解其中一種旋轉就可以了。

三、紅黑樹插入、刪除操作的具體實現

三、I、ok，接下來，咱們來具體瞭解紅黑樹的插入操作。
向一棵含有n個結點的紅黑樹插入一個新結點的操作可以在O（lgn）時間內完成。

算法導論：
RB-INSERT(T, z)
1 y ← nil[T]
2 x ← root[T]
3 while x ≠ nil[T]
4 do y ← x
5 if key[z] < key[x]
6 then x ← left[x]
7 else x ← right[x]
8 p[z] ← y
9 if y = nil[T]
10 then root[T] ← z
11 else if key[z] < key[y]
12 then left[y] ← z
13 else right[y] ← z
14 left[z] ← nil[T]
15 right[z] ← nil[T]
16 color[z] ← RED
17 RB-INSERT-FIXUP(T, z)

咱們來具體分析下，此段代碼：
RB-INSERT(T, z)，將z插入紅黑樹T 之內。

爲保證紅黑性質在插入操作後依然保持，上述代碼調用了一個輔助程序RB-INSERT-FIXUP
來對結點進行重新着色，並旋轉。

14 left[z] ← nil[T]
15 right[z] ← nil[T] //保持正確的樹結構
第16行，將z着爲紅色，由於將z着爲紅色可能會違背某一條紅黑樹的性質，
所以，在第17行，調用RB-INSERT-FIXUP（T,z）來保持紅黑樹的性質。

RB-INSERT-FIXUP(T, z)，如下所示：
1 while color[p[z]] = RED
2 do if p[z] = left[p[p[z]]]
3 then y ← right[p[p[z]]]
4 if color[y] = RED
5 then color[p[z]] ← BLACK Case 1
6 color[y] ← BLACK Case 1
7 color[p[p[z]]] ← RED Case 1
8 z ← p[p[z]] Case 1
9 else if z = right[p[z]]
10 then z ← p[z] Case 2
11 LEFT-ROTATE(T, z) Case 2
12 color[p[z]] ← BLACK Case 3
13 color[p[p[z]]] ← RED Case 3
14 RIGHT-ROTATE(T, p[p[z]]) Case 3
15 else (same as then clause
with "right" and "left" exchanged)
16 color[root[T]] ← BLACK

ok，參考一網友的言論，用自己的語言，再來具體解剖下上述倆段代碼。
爲了保證闡述清晰，我再寫下紅黑樹的5個性質：

在對紅黑樹進行插入操作時，我們一般總是插入紅色的結點，因爲這樣可以在插入過程中儘量避免對樹的調整。
那麼，我們插入一個結點後，可能會使原樹的哪些性質改變列?
由於，我們是按照二叉樹的方式進行插入，因此元素的搜索性質不會改變。

如果插入的結點是根結點，性質2會被破壞，如果插入結點的父結點是紅色，則會破壞性質4。
因此，總而言之，插入一個紅色結點只會破壞性質2或性質4。
我們的回覆策略很簡單，
其一、把出現違背紅黑樹性質的結點向上移，如果能移到根結點，那麼很容易就能通過直接修改根結點來恢復紅黑樹的性質。直接通過修改根結點來恢復紅黑樹應滿足的性質。
其二、窮舉所有的可能性，之後把能歸於同一類方法處理的歸爲同一類，不能直接處理的化歸到下面的幾種情況，

//注：以下情況3、4、5與上述算法導論上的代碼RB-INSERT-FIXUP(T, z)，相對應：

情況1：插入的是根結點。
原樹是空樹，此情況只會違反性質2。
對策：直接把此結點塗爲黑色。
情況2：插入的結點的父結點是黑色。
此不會違反性質2和性質4，紅黑樹沒有被破壞。
對策：什麼也不做。
情況3：當前結點的父結點是紅色且祖父結點的另一個子結點（叔叔結點）是紅色。
此時父結點的父結點一定存在，否則插入前就已不是紅黑樹。
與此同時，又分爲父結點是祖父結點的左子還是右子，對於對稱性，我們只要解開一個方向就可以了。

在此，我們只考慮父結點爲祖父左子的情況。
同時，還可以分爲當前結點是其父結點的左子還是右子，但是處理方式是一樣的。我們將此歸爲同一類。
對策：將當前節點的父節點和叔叔節點塗黑，祖父結點塗紅，把當前結點指向祖父節點，從新的當前節點重新開始算法。

針對情況3，變化前（圖片來源：saturnman）[插入4節點]：

變化後：

情況4：當前節點的父節點是紅色,叔叔節點是黑色，當前節點是其父節點的右子

對策：當前節點的父節點做爲新的當前節點，以新當前節點爲支點左旋。

如下圖所示，變化前[插入7節點]：

變化後：

情況5：當前節點的父節點是紅色,叔叔節點是黑色，當前節點是其父節點的左子

解法：父節點變爲黑色，祖父節點變爲紅色，在祖父節點爲支點右旋

如下圖所示[插入2節點]

變化後：

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三、II、ok，接下來，咱們最後來了解，紅黑樹的刪除操作：

算法導論一書，給的算法實現：

RB-DELETE(T, z) 單純刪除結點的總操作
1 if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T]
2 then y ← z
3 else y ← TREE-SUCCESSOR(z)
4 if left[y] ≠ nil[T]
5 then x ← left[y]
6 else x ← right[y]
7 p[x] ← p[y]
8 if p[y] = nil[T]
9 then root[T] ← x
10 else if y = left[p[y]]
11 then left[p[y]] ← x
12 else right[p[y]] ← x
13 if y 3≠ z
14 then key[z] ← key[y]
15 copy y's satellite data into z
16 if color[y] = BLACK
17 then RB-DELETE-FIXUP(T, x)
18 return y

RB-DELETE-FIXUP(T, x) 恢復與保持紅黑性質的工作
1 while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK
2 do if x = left[p[x]]
3 then w ← right[p[x]]
4 if color[w] = RED
5 then color[w] ← BLACK Case 1
6 color[p[x]] ← RED Case 1
7 LEFT-ROTATE(T, p[x]) Case 1
8 w ← right[p[x]] Case 1
9 if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK
10 then color[w] ← RED Case 2
11 x p[x] Case 2
12 else if color[right[w]] = BLACK
13 then color[left[w]] ← BLACK Case 3
14 color[w] ← RED Case 3
15 RIGHT-ROTATE(T, w) Case 3
16 w ← right[p[x]] Case 3
17 color[w] ← color[p[x]] Case 4
18 color[p[x]] ← BLACK Case 4
19 color[right[w]] ← BLACK Case 4
20 LEFT-ROTATE(T, p[x]) Case 4
21 x ← root[T] Case 4
22 else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)
23 color[x] ← BLACK

爲了保證以下的介紹與闡述清晰，我第三次重寫下紅黑樹的5個性質

（相信，重述了3次，你應該有深刻記憶了。:D）

saturnman：
紅黑樹刪除的幾種情況：

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博主提醒：
以下所有的操作，是針對紅黑樹已經刪除結點之後，
爲了恢復和保持紅黑樹原有的5點性質，所做的恢復工作。

前面，我已經說了，因爲插入、或刪除結點後，
可能會違背、或破壞紅黑樹的原有的性質，
所以爲了使插入、或刪除結點後的樹依然維持爲一棵新的紅黑樹，
那就要做倆方面的工作：
1、部分結點顏色，重新着色
2、調整部分指針的指向，即左旋、右旋。

而下面所有的文字，則是針對紅黑樹刪除結點後，所做的修復紅黑樹性質的工作。

二零一一年一月七日更新。
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(注：以下的情況3、4、5、6，與上述算法導論之代碼RB-DELETE-FIXUP(T, x) 恢復與保持
中case1，case2，case3，case4相對應。)
情況1：當前節點是紅色
解法，直接把當前節點染成黑色，結束。
此時紅黑樹性質全部恢復。
情況2：當前節點是黑色且是根節點
解法：什麼都不做，結束

情況3：當前節點是黑色，且兄弟節點爲紅色(此時父節點和兄弟節點的子節點分爲黑)。
解法：把父節點染成紅色，把兄弟結點染成黑色，之後重新進入算法（我們只討論當前節點是其父節點左孩子時的情況）。
然後，針對父節點做一次左旋。此變換後原紅黑樹性質5不變，而把問題轉化爲兄弟節點爲黑色的情況。

3.變化前：