NP-hard問題證明

NP-hard問題：比NPC更難，通常在多項式時間內無法驗證一個解的正確性。幾個複雜度的區別可以看NPC介紹。

常見證明

我們要證明一個問題A是NP-hard問題一般可以分爲兩步：

1) 對問題A給定限制條件得到一個特例B問題	
2）證明問題B是NPC問題。

以下羅列四個較直觀簡單的例子：

1. Dense Induced Subgraph

問題：給定圖$G$，正整數$k$和$l$，是否存在$k$個點的生成子圖包含最少$l$條邊。
證明：令$l=C_k^2$，那麼該問題變成Clique問題（NPC問題）
解釋：$k$個點的完全子圖最多的邊包含$C_k^2$，所以當$l=C_k^2$，那麼原問題變成尋找$k$個點的子圖且是完全圖，那麼就是Clique問題。

2. Edge Packing

問題：給定圖$G$，正整數$k$和$l$，圖$G$是否存在$l$條邊與最多$k$個點相鄰。
證明：令$l=C_k^2$，那麼該問題變成Clique問題（NPC問題）
解釋：$k$個點的完全子圖最多的邊包含$C_k^2$，那麼當$l=C_k^2$，最少需要$k$個點，此時原問題變成Clique問題。

3. Hitting Rectangles

問題：平面上有一組長方形$R$，一組點$P$，和一個正整數$k$，是否可以從$P$中選擇$k$個點，使得任意一個長方形上都有點。
證明：特例是點覆蓋。
解釋：繪製一個圖G，$u$和$v$是$P$中的兩個點，$u$和$v$之間如果有邊，則表示一個長方形。那麼在這種情況下，需要覆蓋所有的邊，該問題就成了點覆蓋問題。

4. Eulerian Subgraph

問題：給定圖$G$，正整數$k$，圖$G$中是否存在Eulerian子圖恰好包含$k$條邊。
證明：對於Cubic Graphs(所有點的度都等於3)，令$k=n$，那麼該問題就等價成哈密爾頓迴路問題，是NPC複雜度。
解釋：$k=n$時，可以證明所有的點都只經過一次，因爲每個點的度數都不超過3，如果經過兩次，度數就爲4。