CSCI5320 回憶錄

回憶一下今年CSCI5320的期末試題，方便以後的同學參考。期末考主要是題量太大了，滿分50分的試卷最後兩道大題15分全空了。

$\rightarrow$ 題1：給出FPT和Kernelization的定義（4分）
解：參照講義

$\rightarrow$ 題2：給出三種設計FPT算法的常用方法（6分）
解：參照講義

$\rightarrow$ 題3：給定了一個圖，求這個圖裏有多少個不同的MST（5分）
解：直接Prim或者其他算法時間不夠用。考試我花了5分鐘畫了幾個，放棄了。算出來是16個。
最快的應該是應用“red” rule，對於一個cycle，當中最大權值且唯一的邊最終不會落到解集裏，這樣的邊可以先刪掉。大致可以刪掉五六條邊。
剩下的圖裏總共有12條邊，10個點，所以還得刪掉3條邊。
簡化的圖裏有3個cycle，1）兩條邊最大且相等（2種刪除方案） 2）兩條邊最大且相等（2種刪除方案） 3）四條邊最大且相等（4種刪除方案），所以總共有$2\times 2\times 4=16$種。

$\rightarrow$ 題4：設計一個FPT算法使得$k$頂點覆蓋的複雜度低於$O(2^k)$（5分）
解：習題原題，沒什麼好說的，就是考慮$P_3$ path構造bounded search tree，然後用斐波那契數列算通項公式。

$\rightarrow$ 題5：給出5個和Dominating Set相關的parameterized problem。（5分）
解：湊了5個相關的，考完就忘了。

$\rightarrow$ 題6：設計一個FPT算法判斷一個cubic graph是否存在$k$個點的點集$V'$，使得$G[V']$是一顆樹，並且樹內部的節點度都是$3$。（5分）
解：用random separation，隨機染色。解集$S$大小爲$k$全染成紅色，鄰居$N(S)$全染成藍色則構成一個good separation。那麼這個可以在多項式時間內找到解（只要檢查一下紅色component是否包含滿足條件的tree即可）。再套上概率$2^{4k}t^{O(log(t))}log n$去隨機化，得到一個解。

$\rightarrow$ 題7：證明下述問題是w[1]-hard：“給定一個$k$獨立集，尋找一個大小比$k$大的獨立集”。（5分）
解：類似習題，因爲$k$獨立集是w[1]-hard，如果原問題不是w[1]-hard，我們可以將$k=k-1$，不斷縮小，最終$k=1$的時候隨意返回一個點，從而$k$獨立集不是w[1]-hard。

$\rightarrow$ 題8：沒來得及看題 orz… (5分)
解：完全沒印象

$\rightarrow$ 題9：題意不太確定，大概是“給定一個圖，隨意的給每個頂點染上1到$t$顏色，是否存在$k$個點的點集$V'$，使得$G-V'$中不存在alternate path”。證明這個問題是NPC，並且設計一個FPT算法。（10分）
解：不會