動態規劃

動態規劃是一種分階段求解決策問題的數學思想，即“大事化小，小事化了”。

比如走樓梯問題，一個樓梯有10級，每次只能走一級或兩級，問：共有多少種走法？

如果最後到第10級，那麼最後一步就是由8-10或者9-10，設由0-8共X種走法，0-9共Y種走法，那麼0-10走法=X+Y，即F(10)=F(9)+F(8)

依次類推，F(9)=F(8)+F(7)...

當只有1級臺階和兩階臺階時，分別是1或2種走法。

由此，可以歸納出：

F(1)=1
F(2)=2
F(n)=F(n-1)+F(n-2) n>=3

動態規劃中包含三個重要概念：最優子結構、邊界、狀態轉移公式。

以上，F(9)和F(8)是F(10)的最優子結構。

當只有1級或2級臺階時，可以直接得出結果，不需要繼續簡化。稱F(1)和F(2)是問題的邊界。如果一個問題沒有邊界，將永遠無法得到有限結果。

F(n)=F(n-1)+F(n-2)是階段與階段間的狀態轉移方程。這也是動態規劃的核心，決定了問題的每一階段和下一階段的關係。

以上只是建模

對於求解，如果直接拿模型來解：

這是一棵二叉樹，時間複雜度近似地看作是o(2^N)

之所以時間複雜度如此大，因爲有些相同的參數被重複計算了

如何解決呢？用緩存，先創建一個哈希表，每次將不同的參數的計算結果存進去。後面當遇到相同參數時，從中取出，就不用重複計算。這種暫存計算結果的方式叫“備忘錄算法”。此時時間複雜度是o(N)，空間複雜度也是o(N)。

如何再一步優化？

我們是否一定需要對F(N)自頂向下做遞歸運算嗎？可不可以自底向上，用迭代方式推導出結果？

例如當臺階是4時，走法數量是5，由F(2)+F(3)所得，即F(4)只依賴於F(2)和F(3)

即每一次迭代過程中，只需要保留之前兩個狀態，就可以推導出新的轉態，大大節省了空間。這就是動態規劃。

但動態規劃的本質不在於是遞推或是遞歸，即動態規劃中遞推式的求解方法不是動態規劃的本質，也不需要糾結是不是內存換時間。

動態規劃的本質，是對問題狀態的定義和狀態轉移方程的定義。

動態規劃是通過拆分問題，定義問題狀態和狀態之間的關係，使得問題能夠以遞推（或者說分治）的方式去解決。如何拆分問題，纔是動態規劃的核心。而拆分問題，靠的就是狀態的定義和狀態轉移方程的定義。