l 頻率域濾波的基本步驟
思想：通過濾波器函數以某種方式來修改圖像 變換，然後通過取結果的反變換來獲得處理後 的輸出圖像
低通濾波器：
使低頻通過而使高頻衰減的濾波 器
被低通濾波的圖像比原始圖像少尖銳的細節部分而 突出平滑過渡部分
對比空間域濾波的平滑處理，如均值濾波器
高通濾波器：
使高頻通過而使低頻衰減的濾波 器
被高通濾波的圖像比原始圖像少灰度級的平滑過渡 而突出邊緣等細節部分
對比空間域的梯度算子、拉普拉斯算子
從濾波器處理效果的尖銳程度，可以將他們分爲三種類型：理想濾波器、巴特沃斯濾波器、高斯濾波器。他們的尖銳程度也是依次遞減。
再從濾波的通過範圍看，這三種濾波器都有低通、高通、帶通、帶阻四個版本。
下面將他們的的公式貼出來，就一目瞭然啦。
理想低通濾波器： 
理想高通濾波器： 
理想帶阻濾波器： 
這裏：
巴特沃斯低通濾波器： 
巴特沃斯高通濾波器： 
巴特沃斯帶阻濾波器：
W是帶寬
高斯低通濾波器 
高斯高通濾波器 
高斯帶阻濾波器
按照公式可以實現任意濾波器。
頻率域濾波——以高斯低通爲例
//**************************************
//頻率域濾波——以高斯低通爲例
//**************************************
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<iostream>
using namespace std;
using namespace cv;
Mat gaussianlbrf(Mat scr,float sigma);//高斯低通濾波器函數
Mat freqfilt(Mat scr,Mat blur);//頻率域濾波函數
static void help(char* progName)
{
cout << endl
<< "This program demonstrated the use of the discrete Fourier transform (DFT). " << endl
<< "The dft of an image is taken and it's power spectrum is displayed." << endl
<< "Usage:" << endl
<< progName << " [image_name -- default ../data/lena.jpg] " << endl << endl;
}
int main( int argc, char *argv[])
{
help(argv[0]);
const char* filename = argc >=2 ? argv[1] : "../data/lena.jpg";
Mat input = imread(filename, IMREAD_GRAYSCALE);
if( input.empty())
return -1;
imshow("input",input);//顯示原圖
int w=getOptimalDFTSize(input.cols); //獲取進行dtf的最優尺寸
int h=getOptimalDFTSize(input.rows); //獲取進行dtf的最優尺寸
Mat padded;
copyMakeBorder(input,padded,0,h-input.rows,0,w-input.cols, BORDER_CONSTANT , Scalar::all(0)); //邊界填充
padded.convertTo(padded,CV_32FC1); //將圖像轉換爲flaot型
Mat gaussianKernel=gaussianlbrf(padded,45);//高斯低通濾波器
Mat out=freqfilt(padded,gaussianKernel);//頻率域濾波
out = out(Rect(0,0,input.cols,input.rows));
imshow("結果圖 sigma=40",out);
waitKey(0);
return 0;
}
//*****************高斯低通濾波器***********************
Mat gaussianlbrf(Mat scr,float sigma)
{
Mat gaussianBlur(scr.size(),CV_32FC1); //，CV_32FC1
float d0=2*sigma*sigma;//高斯函數參數，越小，頻率高斯濾波器越窄，濾除高頻成分越多，圖像就越平滑
for(int i=0;i<scr.rows ; i++ )
{
for(int j=0; j<scr.cols ; j++ )
{
float d=pow(float(i-scr.rows/2),2)+pow(float(j-scr.cols/2),2);//分子,計算pow必須爲float型
gaussianBlur.at<float>(i,j)=expf(-d/d0);//expf爲以e爲底求冪（必須爲float型）
}
}
imshow("高斯低通濾波器",gaussianBlur);
return gaussianBlur;
}
//*****************頻率域濾波*******************
Mat freqfilt(Mat scr,Mat blur)
{
//***********************DFT*******************
Mat plane[]={scr, Mat::zeros(scr.size() , CV_32FC1)}; //創建通道，存儲dft後的實部與虛部（CV_32F，必須爲單通道數）
Mat complexIm;
merge(plane,2,complexIm);//合併通道 （把兩個矩陣合併爲一個2通道的Mat類容器）
dft(complexIm,complexIm);//進行傅立葉變換，結果保存在自身
//***************中心化********************
split(complexIm,plane);//分離通道（數組分離）
int cx=plane[0].cols/2;int cy=plane[0].rows/2;//以下的操作是移動圖像 (零頻移到中心)
Mat part1_r(plane[0],Rect(0,0,cx,cy)); //元素座標表示爲(cx,cy)
Mat part2_r(plane[0],Rect(cx,0,cx,cy));
Mat part3_r(plane[0],Rect(0,cy,cx,cy));
Mat part4_r(plane[0],Rect(cx,cy,cx,cy));
Mat temp;
part1_r.copyTo(temp); //左上與右下交換位置(實部)
part4_r.copyTo(part1_r);
temp.copyTo(part4_r);
part2_r.copyTo(temp); //右上與左下交換位置(實部)
part3_r.copyTo(part2_r);
temp.copyTo(part3_r);
Mat part1_i(plane[1],Rect(0,0,cx,cy)); //元素座標(cx,cy)
Mat part2_i(plane[1],Rect(cx,0,cx,cy));
Mat part3_i(plane[1],Rect(0,cy,cx,cy));
Mat part4_i(plane[1],Rect(cx,cy,cx,cy));
part1_i.copyTo(temp); //左上與右下交換位置(虛部)
part4_i.copyTo(part1_i);
temp.copyTo(part4_i);
part2_i.copyTo(temp); //右上與左下交換位置(虛部)
part3_i.copyTo(part2_i);
temp.copyTo(part3_i);
//*****************濾波器函數與DFT結果的乘積****************
Mat blur_r,blur_i,BLUR;
multiply(plane[0], blur, blur_r); //濾波（實部與濾波器模板對應元素相乘）
multiply(plane[1], blur,blur_i);//濾波（虛部與濾波器模板對應元素相乘）
Mat plane1[]={blur_r, blur_i};
merge(plane1,2,BLUR);//實部與虛部合併
//*********************得到原圖頻譜圖***********************************
magnitude(plane[0],plane[1],plane[0]);//獲取幅度圖像，0通道爲實部通道，1爲虛部，因爲二維傅立葉變換結果是複數
plane[0]+=Scalar::all(1); //傅立葉變o換後的圖片不好分析，進行對數處理，結果比較好看
log(plane[0],plane[0]); // float型的灰度空間爲[0，1])
normalize(plane[0],plane[0],1,0,CV_MINMAX); //歸一化便於顯示
imshow("原圖像頻譜圖",plane[0]);
//******************IDFT*******************************
/*
Mat part111(BLUR,Rect(0,0,cx,cy)); //元素座標(cx,cy)
Mat part222(BLUR,Rect(cx,0,cx,cy));
Mat part333(BLUR,Rect(0,cy,cx,cy));
Mat part444(BLUR,Rect(cx,cy,cx,cy));
part111.copyTo(temp); //左上與右下交換位置(虛部)
part444.copyTo(part111);
temp.copyTo(part444);
part222.copyTo(temp); //右上與左下交換位置
part333.copyTo(part222);
temp.copyTo(part333);
*/
idft( BLUR, BLUR); //idft結果也爲複數
split(BLUR,plane);//分離通道，主要獲取通道
magnitude(plane[0],plane[1],plane[0]); //求幅值(模)
normalize(plane[0],plane[0],1,0,CV_MINMAX); //歸一化便於顯示
return plane[0];//返回參數
}
結果：
原圖：
原圖像頻譜圖
高斯低通濾波器
結果圖像：
結論
ü GLPF不能達到有相同截止頻率的二階 BLPF的平滑效果
ü GLPF沒有振鈴
ü 如果需要嚴格控制低頻和高頻之間截 至頻率的過渡，選用BLPF，代價是可能 產生振鈴