嘗試一篇仿m67風格的博客。
你受邀參加一場女裝聚會，除了你和聚會組織者之外還有n個人參加，這些人你都不認識。
組織者告訴你：這場聚會上所有人都會穿女裝，但其中有一部分是真妹子，另外一些則是女裝大佬。
作爲直男，你的目的顯然是去欣賞妹子而不是女裝大佬。然而到現場之後你慌了——單身多年的你竟然分辨不出哪些人是妹子。泡到一個女裝大佬顯然是一個讓人想想就菊花一緊的事，你又不想白來一趟，於是趕緊向組織者求助。
你以爲你會很快得到想要的答案？哈哈你想得太簡單了，這種魔術揭祕一般的事怎麼可能隨便告訴你，不然聚會的樂趣全無。不過，看着你飢渴可憐的眼神，組織者還是決定幫你一把：
不妨把所有人按照1~n編號。每次你可以向組織者給出兩個編號集合，每個集合裏元素不能重複（但兩個集合可以有相同元素）。組織者會告訴你：其中某個集合裏的妹子數量，一定不少於另一個集合。
舉個例子：你向組織者詢問集合{1,2,3,6,8}和{2,3,4,5},組織者回答第二個集合，就代表集合{2,3,4,5}中的妹子人數一定不少於集合{1,2,3,6,8}中的妹子人數。
需要注意的是，如果兩個集合妹子人數一樣，則組織者無論回答哪個集合都是合理的，此時他會任選一個集合回答你。
組織者信心滿滿地認爲，即使他給出了這些信息，你還是無法確定出所有人的性別。他是對的，舉個最簡單的例子，當n=1時，你顯然無法得到任何有用的信息。於是，他又向你透露了兩個關鍵信息：
1、這場聚會中至少有一個妹子，也就是說絕對不會所有人都是女裝大佬。不過不排除所有人都是妹子而沒有女裝大佬的情況。
2、他告訴你了場上妹子人數的奇偶性。
組織者認爲即使這樣你還是沒轍，誰知你卻已經有了一個方案，能問出所有人的性別！不僅如此，你還打算用最省事的方式問出答案。這裏的“最省事”不是詢問次數最少，而是詢問的總人次數（也可以看做所有詢問的集合大小總和）最小。
試問：你有什麼好的方案？注意你給出的方案應該能在任何情況下（比如，你可以假定在所有兩集合相等時都回答對你最不利的答案）都能給出正確答案。
這題第一眼看上去比較簡單，不過在多次嘗試之後，想必你已經發現了：“兩集合相同時返回任意一個”這個設定遠比你想象中的坑得多。比如，你永遠無法直接詢問兩個集合來得到它們之間準確的大小關係——即使你詢問了許多次得到的結果都相同，你又怎麼能確定，確實是這個集合更大，而不是兩個集合相等而你運氣背到了一定程度呢？（別忘了，你需要考慮的是對你最不利的情況。）
在接下來的敘述中，我們不妨把問題抽象成如下模型：我們要確定n個01變量的值，其中某個變量爲0代表女裝大佬，1代表妹子，並定義集合之間的“大於等於”運算指的是集合中1的個數之間的比較，定義詢問總代價爲所有詢問的集合大小總和。
首先一個自然的想法是，如果把所有人兩兩比較一次會怎樣？每個人都會進行n-1次比較，並且可以發現一個關鍵的性質：對於任意一個值爲0的變量x和任意一個值爲1的變量y來說，x大於等於其他元素的次數一定比y大於等於其他元素的次數多。
這是顯然的，不妨設所有變量中有a個的值爲0，則任意一個0最多隻能大於等於a-1的元素，而任意一個1至少能大於等於a個元素。
因此，如果把所有變量按照大於等於其他變量的次數進行從大到小排序，則一定存在一個分界點，它的左側全都是1，右側全都是0。
問題是，怎麼確定這個分界點在哪裏呢？別忘了，保證至少存在一個變量爲1，所以排在最靠前的元素一定是1。接下來，我們就可以枚舉每一對相鄰的元素，把它們放在一個集合（記做S），把這個確定的1放在另一個集合（記做T）。
接下來，有3種可能的情況發生：
1、這兩個相鄰的元素都是1，則一定會回答T。
2、這兩個相鄰的元素都是0，則一定會回答S。
3、這兩個相鄰的元素是一個1一個0，則返回S或T都有可能。
換句話說，對於兩種可能的回答，我們能得到的信息如下：
1、如果回答的是T，說明兩個元素是2個1，或者一個1一個0。
2、如果回答的是S，說明兩個元素是2個0，或者一個1一個0。
由於我們已經知道了當前的序列一定是前面一段1後面一段0，所以詢問結果也一定是前面一段T後面一段S。問題是，中間分界處有一處0和1相鄰的情況，回答序列也有一處S和T相鄰的情況，如何知道此處具體哪個回答對應的是一個0一個1的情況？
奇偶性！別忘了我們還有這麼一個條件。因爲中間的不確定性因素最多隻有1，再結合1的個數的奇偶性我們就能得到一個準確的答案。
此時我們終於得到了一個確定性的解答，它的詢問總代價是O(n^2)級別的。還能做得更好嗎？
細心的讀者可能已經發現，最後一步枚舉所有的相鄰對其實是沒必要的。因爲我們已經知道詢問的結果必然是一段T一段S，我們就可以通過二分的方法確定分界點的位置在哪裏。不過，這裏的優化只是把一個O(n)變成了O(logn)，我們還是需要O(n^2)級別的總代價。
但是……再仔細想想，我們爲什麼會得到一個“詢問的結果必然是一段T一段S”的結果？本質原因是我們把所有元素排成了前面一段1後面一段0……排序！我們第1步花O(n^2)的代價，本質上只是將這n個元素排了個序而已。不過我們既然可以直接對兩個元素進行比較，爲什麼不直接進行排序呢？
衆所周知，不少基於比較的排序算法的比較次數都是O(nlogn)級別，利用我們的“大於等於”運算，當然可以直接實現一個基於比較的排序。這樣，我們就把總代價降低到了O(nlogn)級別。
還能更優一點嗎？注意到基於比較的排序複雜度下界也是O(nlogn)級別，因此這種方法也就走到頭了。
當時我做這個題的時候，認爲O(nlogn)級別的代價就是最優方案了。事後才得知，居然有更優秀的方案，可以把總代價降低到O(n)級別！究其原因，還是因爲我們的權值只有01兩種，正常排序的話使用計數排序顯然是O(n)的，我們卻需要基於比較的O(nlogn)排序，這顯然是一種浪費。
首先考慮我們能否找到一個值爲1的元素出來。這本質上就是在找最大值，利用大於等於運算，我們能輕鬆地在O(n)的代價之內找出來。設這個元素爲q。
然後呢？我們就可以利用這一個確定爲1的元素，逐步確定其餘所有的元素。
首先，如果當前僅剩1個未確定的元素，我們容易根據奇偶性確定出它的值。
否則，任取兩個未確定的元素x,y,首先對它們進行一次比較，不妨設x>=y。
然後，再令S={x,y},T={q}，對S和T進行一次比較。
如果S>=T，意味着x和y中至少有1個爲1。
如果T>=S，意味着x和y中至少有1個爲0。
看起來我們還是不能確定每個元素的值，然而這個算法的最精妙之處就在這裏：
以S>=T爲例，此時x和y中至少有1個爲1。然而我們又有x>=y,這意味着，如果x爲0，那麼y也必須爲0，這就會產生矛盾。於是，此時x必須爲1——儘管我們仍然不知道y的值，但是x的值我們可以確定了！
同樣，如果S<=T，也可以推出y必須爲0。
這個思路不可謂不令人驚訝——通過如上的操作，無論是x還是y我們都不能保證一定能求出它的準確值，但我們一定能求出其中某一個的值！
同時注意到進行一次上述操作的代價爲5，因此求出所有元素的值，總代價是O(n)的。
這麼長的文章看到這裏也不容易，相信你如果還沒被繞暈的話也一定會讚歎這算法的精妙。此時我說，這種算法還不是最優，你也多半不會相信吧？畢竟我們已經把總代價降到了O(n)，而顯然這也是下界了。
但是，真的有比這還優秀的方案！之前我們的算法雖然是O(n)，但它還有常數項優化的空間。準確地說，由於第一步找最大值的代價約爲2n，第二步每確定一個元素的代價爲5，因此總代價約爲7n。接下來，我們將進一步突破這個下限。不過由於接下來的算法將會較爲複雜，建議先完全理解上述算法之後再繼續看下去。
我們嘗試把第一步那個找最大值的過程去掉，隨便取一個元素作爲基準值。
那如果這個元素爲0怎麼辦？不慌，我們冷靜分析一下。
取元素a,b,c,假設b>=c，構造集合S={b,c}，T={a}。
如果S<=T，則不管a的值如何，a與b中均不可能都是1。此時，我們依然能確定出c=0。下一次操作時，保持當前的a不變，另取一個新的元素，與原來的b作爲新的b和c即可。
如果S>=T呢？如果a是1，我們就已經能知道b一定是1了，然而現在a的值不確定，因此我們還不能給出“b一定是1”的判斷。
然而，“如果a是1，我們就已經能知道b一定是1了”這話意味着什麼？意味着b>=a！也就是說，我們沒有直接比較a與b，就憑空得出了這一組大小關係。我們把這組關係記錄下來，緊接着用b去替換a，再取一個新的元素，與原來的c作爲新的b和c。
反覆操作直到所有元素都使用了，此時我們會得到什麼？若干個已經確定爲0的元素，一連串元素x1x2...xk滿足x1<=x2<=...<=xk，還有一個額外的元素是最後一次操作剩下的，記做p。
容易發現，在xk和p之間一定存在一個元素的值爲1，因此我們可以用一次比較確定一個1。
那麼其餘的未確定元素呢？我們發現它們已經天然地排成了有序的，除了最多一個可能的元素遊離於這條鏈之外（即元素p，如果p<=xk的話）。我們就可以利用之前提到的二分算法在鏈上找到一個分界點，對於分界點處的元素和p，我們也可以用至多1次額外比較和奇偶性確定出來。
因此我們終於得到了這題的最優解：總代價5n+O(logn)的優秀算法。（你還有其它更優的解嗎？歡迎指出。）
唉，如果現實中真有這種聚會該多好……