目录
1.CBOW模型
2.Skip Gram模型
3.Hierarchical softmax
4.Negative Sampling
前言，下面公式多次用到的求导法则：
sigmoid函数的导数具有以下形式：
1.CBOW模型
首先从输入输出都是一个词的模型讲起。
模型中词典大小为V，隐藏层规模为N，连接层为全连接，输入层为one-hot编码方式。对于一个特定词，词向量为x={x1，x2，…，xv},则模型输入为x，权重矩阵为W。隐藏层的求解公式如下所示：
因为x中只有一位为1，其它为都为0，所以h向量其实就是input->hidden权重矩阵WW的某一行结合输入单词ωI的向量拷贝，即如下所示：
隐藏层到输出层的权重记为W’,vwj为w’的一行，uj为标量，可用来对输出的每一个值打分，分高的对应预测的可能性更高。
对于输入词i，输出词为j的概率为：
更新权重
跟新权重用到神经网络的反向传播算法。
首先模型的目标函数为：
公式最后一行表示，给预测为J打的分减去预测为除去J的分。其中
对目标函数基于权重求导，此求导是输出层和隐藏层中间进行。
更新公式为
用相似方法在隐藏层和输入层更新权重
具体推导过程可参考博客：https://blog.csdn.net/lanyu_01/article/details/80097350
输入为某个词的多个上下文信息词，预测这个词
首先将上下文单词向量做累加求和并取平均值作为输入。隐藏层h为：
c为上下文词数量
损失函数为：
同理，我们可以求出更新公式：
Skip-gram模型
输入为某个词，输出为预测这个词的上下文信息
对于隐藏层的输出为h，与之前求单个词的输入过程一样，如下所示：
在输出层，与CBOW模型的输出为单个多项式分布不同的是，SG模型在输出层输出了C个多项式分布。每个输出都使用相同的hidden->output矩阵计算
更新公式类似。
Hierarchical softmax（分层 softmax）
Hierarchical softmax 是一种有效的计算 softmax 的方式。该模型使用一棵二叉树来表示词汇表中的所有单词。所有的VV个单词都在二叉树的叶节点上。非叶子节点一共有V−1V−1个。对于每个叶子节点，从根节点root到该叶子节点只有一条路径；这条路径用来评估用该叶子节点代表该叶子节点上单词的概率值。
其中白色的树节点代表的是词汇表中的单词，灰色节点为内部节点。图中高亮显示的是一条从根节点到ω2的路径。该条路径的长度为L(ω2)=4。n(ω,j)表示从根节点到单词ω的路径上的第j个节点。
rarchical softmax模型中，所有的词汇单词没有输出向量表示形式。不同的是，二叉树的每一个内部节点都有一个输出向量v′n(ω,j)。因此一个单词作为输出单词的概率计算公式定义如下：
其中，ch(n)为节点nn的左孩子节点；v′n(ω,j)是内部节点n(ω,j)的向量表示（输出向量）；h是隐藏层的输出值;[[x]]是一种特殊的函数，如果x等于true，[[x]]等于1，否则，等于0。[[x]]表示的是，如果在从根节点到单词W的路径上，第j个节点的下一个节点是其左孩子节点，[[x]]就等于1，否则为0。
误差函数为：
其中：
对E关于v’jTh求导，可得：
其中[[.]]=1时，tj=-1,否则tj=0
接着求出
可得更新权重为：
接下来更新输入到隐层的权重：
根据其使用的是CBOW还是SG模型选择接下来的EH值。
小结
采用Hierarchical softmax的好处是降低了时间复杂度，从O(V)时间降到O(log（V）)。
Negative Sampling(负采样)
主要思想是每一轮的迭代更新，只更新其中一部分输出向量。这里涉及了正样本和负样本，正样本是指最终要输出的上下文单词，在采样的过程中需要保存下来，负样本指的是采样过程中涉及的非最终输出的单词。采样过程中需要选择一种概率分布，用Pn(w)表示。
模型误差函数为：
其中ωO是输出单词（正样本），v′ωO是输出向量；h是隐藏层的输出值Wneg={ωj|j=1,…,K}}是基于分布Pn(ω)采样的一系列单词。
求偏导：
类似上述所提步骤，最终得到的更新公式为：
输入到隐藏层的更新公式，类似，在此省略。
小结：
为了解决有太多的输出向量问题，负采样采用更直接的方式，每次只更新一部分采样的向量。