一、問題引入
題意：首先在地圖上給你若干個城鎮，這些城鎮都可以看作點，然後告訴你哪些對城鎮之間是有道路直接相連的。最後要解決的是整幅圖的連通性問題。比如隨意給你兩個點，讓你判斷它們是否連通，或者問你整幅圖一共有幾個連通分支，也就是被分成了幾個互相獨立的塊。像暢通工程這題，問還需要修幾條路，實質就是求有幾個連通分支。如果是1個連通分支，說明整幅圖上的點都連起來了，不用再修路了；如果是2個連通分支，則只要再修1條路，從兩個分支中各選一個點，把它們連起來，那麼所有的點都是連起來的了；如果是3個連通分支，則只要再修兩條路……
說明：輸入4 2 1 3 4 3。即一共有4個點，2條路。下面兩行告訴你，1、3之間有條路，4、3之間有條路。那麼整幅圖就被分成了1-3-4和2兩部分。只要再加一條路，把2和其他任意一個點連起來，暢通工程就實現了，那麼這個這組數據的輸出結果就是1。好了，現在編程實現這個功能吧，城鎮有幾百個，路有不知道多少條，而且可能有迴路。 這可如何是好？ 我以前也不會呀，自從用了並查集之後，嗨，效果還真好！
二、故事描述
並查集由一個整數型的數組和兩個函數構成。數組pre[]記錄了每個點的前導點是什麼，函數find是查找，函數join是合併。
話說江湖上散落着各式各樣的大俠，有上千個之多。他們沒有什麼正當職業，整天揹着劍在外面走來走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大俠們有一個優點就是講義氣，絕對不打自己的朋友。而且他們信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通過朋友關係串聯起來的，不管拐了多少個彎，都認爲是自己人。這樣一來，江湖上就形成了一個一個的羣落，通過兩兩之間的朋友關係串聯起來。而不在同一個羣落的人，無論如何都無法通過朋友關係連起來，於是就可以放心往死了打。但是兩個原本互不相識的人，如何判斷是否屬於一個朋友圈呢？ 我們可以在每個朋友圈內推舉出一個比較有名望的人，作爲該圈子的代表人物，這樣，每個圈子就可以這樣命名“齊達內朋友之隊”“羅納爾多朋友之隊”……兩人只要互相對一下自己的隊長是不是同一個人，就可以確定敵友關係了。 但是還有問題啊，大俠們只知道自己直接的朋友是誰，很多人壓根就不認識隊長，要判斷自己的隊長是誰，只能漫無目的的通過朋友的朋友關係問下去：“你是不是隊長？你是不是隊長？” 這樣一來，隊長面子上掛不住了，而且效率太低，還有可能陷入無限循環中。於是隊長下令，重新組隊。隊內所有人實行分等級制度，形成樹狀結構，我隊長就是根節點，下面分別是二級隊員、三級隊員。每個人只要記住自己的上級是誰就行了。遇到判斷敵友的時候，只要一層層向上問，直到最高層，就可以在短時間內確定隊長是誰了。由於我們關心的只是兩個人之間是否連通，至於他們是如何連通的，以及每個圈子內部的結構是怎樣的，甚至隊長是誰，並不重要。所以我們可以放任隊長隨意重新組隊，只要不搞錯敵友關係就好了。於是，門派產生了。 
下面我們來看並查集的實現。 int pre[1000]; 這個數組，記錄了每個大俠的上級是誰。大俠們從1或者0開始編號（依據題意而定），pre[15]=3就表示15號大俠的上級是3號大俠。如果一個人的上級就是他自己，那說明他就是掌門人了，查找到此爲止。也有孤家寡人自成一派的，比如歐陽鋒，那麼他的上級就是他自己。每個人都只認自己的上級。比如胡青牛同學只知道自己的上級是楊左使。張無忌是誰？不認識！要想知道自己的掌門是誰，只能一級級查上去。 find這個函數就是找掌門用的，意義再清楚不過了（路徑壓縮算法先不論，後面再說）。
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再來看看join函數，就是在兩個點之間連一條線，這樣一來，原先它們所在的兩個板塊的所有點就都可以互通了。這在圖上很好辦，畫條線就行了。但我們現在是用並查集來描述武林中的狀況的，一共只有一個pre[]數組，該如何實現呢？ 還是舉江湖的例子，假設現在武林中的形勢如圖所示。虛竹小和尚與周芷若MM是我非常喜歡的兩個人物，他們的終極boss分別是玄慈方丈和滅絕師太，那明顯就是兩個陣營了。我不希望他們互相打架，就對他倆說：“你們兩位拉拉勾，做好朋友吧。”他們看在我的面子上，同意了。這一同意可非同小可，整個少林和峨眉派的人就不能打架了。這麼重大的變化，可如何實現呀，要改動多少地方？其實非常簡單，我對玄慈方丈說：“大師，麻煩你把你的上級改爲滅絕師太吧。這樣一來，兩派原先的所有人員的終極boss都是師太，那還打個球啊！反正我們關心的只是連通性，門派內部的結構不要緊的。”玄慈一聽肯定火大了：“我靠，憑什麼是我變成她手下呀，怎麼不反過來？我抗議！”抗議無效，上天安排的，最大。反正誰加入誰效果是一樣的，我就隨手指定了一個。這段函數的意思很明白了吧？
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再來看看路徑壓縮算法。建立門派的過程是用join函數兩個人兩個人地連接起來的，誰當誰的手下完全隨機。最後的樹狀結構會變成什麼樣，我也完全無法預計，一字長蛇陣也有可能。這樣查找的效率就會比較低下。最理想的情況就是所有人的直接上級都是掌門，一共就兩級結構，只要找一次就找到掌門了。哪怕不能完全做到，也最好儘量接近。這樣就產生了路徑壓縮算法。 設想這樣一個場景：兩個互不相識的大俠碰面了，想知道能不能揍。 於是趕緊打電話問自己的上級：“你是不是掌門？” 上級說：“我不是呀，我的上級是誰誰誰，你問問他看看。” 一路問下去，原來兩人的最終boss都是東廠曹公公。 “哎呀呀，原來是記己人，西禮西禮，在下三營六組白麪葫蘆娃!” “幸會幸會，在下九營十八組仙子狗尾巴花！” 兩人高高興興地手拉手喝酒去了。 “等等等等，兩位同學請留步，還有事情沒完成呢！”我叫住他倆。 “哦，對了，還要做路徑壓縮。”兩人醒悟。 白麪葫蘆娃打電話給他的上級六組長：“組長啊，我查過了，其習偶們的掌門是曹公公。不如偶們一起直接拜在曹公公手下吧，省得級別太低，以後查找掌門麻環。” “唔，有道理。” 白麪葫蘆娃接着打電話給剛纔拜訪過的三營長……仙子狗尾巴花也做了同樣的事情。 這樣，查詢中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接領導下。每次查詢都做了優化處理，所以整個門派樹的層數都會維持在比較低的水平上。路徑壓縮的代碼，看得懂很好，看不懂也沒關係，直接抄上用就行了。總之它所實現的功能就是這麼個意思。
三、算法描述
關鍵特徵：
①用集合中的某個元素來代表這個集合，該元素稱爲集合的代表元；
②一個集合內的所有元素組織成以代表元爲根的樹形結構；
③對於每一個元素 pre[x]指向x在樹形結構上的父親節點。如果x是根節點，則令pre[x] = x；
④對於查找操作，假設需要確定x所在的的集合，也就是確定集合的代表元。可以沿着pre[x]不斷在樹形結構中向上移動，直到到達根節點。
判斷兩個元素是否屬於同一集合，只需要看他們的代表元是否相同即可。
路徑壓縮：
爲了加快查找速度，查找時將x到根節點路徑上的所有點的pre（上級）設爲根節點，該優化方法稱爲壓縮路徑。使用該優化後，平均複雜度可視爲Ackerman函數的反函數，實際應用中可粗略認爲其是一個常數。
用途：
1、維護無向圖的連通性。支持判斷兩個點是否在同一連通塊內，和判斷增加一條邊是否會產生環。
2、用在求解最小生成樹的Kruskal算法裏。
一般來說，一個並查集對應三個操作：初始化+查找根結點函數+合併集合函數
【初始化】
包括對所有單個的數據建立一個單獨的集合（即根據題目的意思自己建立的最多可能有的集合，爲下面的合併查找操作提供操作對象）。
在每一個單個的集合裏面，有三個東西。
①集合所代表的數據（這個初始值根據需要自己定義，不固定） ；
②這個集合的層次通常用rank表示（一般來說，初始化的工作之一就是將每一個集合裏的rank置爲1）；
③這個集合的類別pre（其實就是一個指針，用來指示這個集合屬於那一類，合併過後的集合，他們的pre指向的最終值一定是相同的） （有的簡單題裏面集合的數據就是這個集合的標號，也就是說只包含2和3，1省略了）。
初始化的時候，每一個集合的pre都是這個集合自己的標號。沒有跟它同類的集合，那麼這個集合的源頭只能是自己了。
最簡單的集合就只含有這三個東西了，當然，複雜的集合就是把3指針這一項添加內容，如PKU食物鏈那題，我們還可以添加enemy指針，表示這個物種集合的天敵集合；food指針，表示這個物種集合的食物集合。隨着指針的增加，並查集操作起來也變得複雜，題目也就顯得更難了。
數組表示法
設置很多相同大小的數組，如：
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【查找函數】
就是找到pre指針的源頭，可以把函數命名爲find_pre，如果集合的pre等於集合的編號（即還沒有被合併或者沒有同類），那麼自然返回自身編號。 如果不同（即經過合併操作後指針指向了源頭（合併後選出的rank高的集合））那麼就可以調用遞歸函數，如下面的代碼：
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【合併集合函數】
