bzoj2839 集合計數 容斥

Description

---

一個有N個元素的集合有2^N個不同子集（包含空集），現在要在這2^N個集合中取出若干集合（至少一個），使得
它們的交集的元素個數爲K，求取法的方案數，答案模1000000007。（是質數喔~）

Solution

---

這個容斥就很簡單了
考慮設g[k]表示至少k個相同的答案，f[k]表示恰好k個相同的答案
顯然有$g_k=\sum\limits_{i=k}^{n}{\binom{i}{k}f_k}$
考慮g[]的含義，不難得到$g_k=\binom{n}{k}\cdot\left(2^{2^{n-k}}-1\right)$
然後有一個神奇的變換就是$f_k=\sum\limits_{i=k}^n{{(-1)}^{i-k}\binom{i}{k}g_k}$
這是一個反演，證明的話帶入一下就可以了。。
於是我們就可以$O(n)$求恰好k的答案了

沒有交，本地拍了一下似乎沒毛病

Code

---

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int MOD=1000000007;
const int N=200005;

LL fac[N],inv[N],f[N],g[N];

LL C(int n,int m) {
	return fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;
}

LL ksm(LL x,LL dep,int MOD) {
	LL res=1;
	for (;dep;dep>>=1) {
		(dep&1)?(res=res*x%MOD):0;
		x=x*x%MOD;
	}
	return res;
}

int main(void) {
	freopen("data.in","r",stdin);
	freopen("myp.out","w",stdout);
	fac[0]=fac[1]=1; rep(i,2,N-1) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	inv[0]=inv[1]=1; rep(i,2,N-1) inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
	rep(i,2,N-1) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%MOD;
	int n,k; scanf("%d%d",&n,&k);
	rep(i,1,n) g[i]=C(n,i)*(ksm(2,ksm(2,n-i,MOD-1),MOD)-1)%MOD;
	rep(j,k,n) {
		LL tmp=C(j,k)*g[j]%MOD;
		if ((j-k)&1) f[k]=(f[k]+MOD-tmp)%MOD;
		else f[k]=(f[k]+tmp)%MOD;
	}
	printf("%lld", f[k]);
	return 0;
}