Count number of binary strings without consecutive 1’s

一、題目

1. Count number of binary strings without consecutive 1’s

Given a positive integer n(3≤n≤90), count all possible distinct binary strings of length n such that there are no consecutive 1's .
Examples:

  Input:  2 
  Output: 3 // The 3 strings are 00, 01, 10 
  ​
  Input: 3 
  Output: 5 // The 5 strings are 000, 001, 010, 100, 101

二、題意

給定一個正整數n(3≤n≤90)，數出長度爲n的所有可能的不同二進制串的個數，使得串中沒有連續的1出現。

 

三、解題思路及算法

1、回溯+深搜

長度爲n的所有二進制串形成一棵子集樹，所以可以用DFS遍歷子集樹，遍歷過程中檢查是否有連續的1出現，時間複雜度爲O(2^n)。

// 深搜回溯法 
#include <iostream>
using namespace std;
long long total = 0;
bool judge(string s){
	int length = s.length();
	int num = 0;
	for(int i=0; i<length-1; i++){
		if(s[i] == '1' && s[i+1] == '1')
			return false;
	}
	return true;
}
void calculate(string s, int index, int n){
	if(index == n) {
		if(judge(s)){total++;} 
		return;
	}
	else{
		calculate(s, index+1, n);
		s[index] = '1';
		calculate(s, index+1, n);
	}
}
int main (){
	int n;
	cin>>n;
	string s="";
	for(int i=0; i<n; i++){
		s+='0';
	}
	calculate(s, 0, n);
	cout<<total<<endl;
	
	return 0;
} 

2、動態規劃（DP）
 思路：設a[i-2]，a[i-1], a[i]分別爲長度爲i-2，i-1，i的不含連續1的二進制字符串的個數
 那麼從長度爲i的來考慮：
 1、若最後一個值爲0，則這種情況下不含連續1的二進制字符串個數爲a[i-1]
  2、若最後一個值爲1，則這種情況下要符合條件那麼倒數第二個的值只能爲0
   此時符合條件的個數爲a[i-2]（理由和1相同） 

時間複雜度：O(n)。

#include <iostream>
using namespace std;
int main (){
	int n;
	cin>>n;
	long long a[n+1];   // n最大爲90，那麼總數的量級是2^90數量級，因此需要大數 
	a[1] = 2; a[2] = 3;
	for(int i=3; i<=n; i++){
		a[i] = a[i-1] + a[i-2];
	}
	cout<<a[n]<<endl;
	
	return 0;
} 

參考博文：https://blog.csdn.net/climber16/article/details/81604342