最大子矩陣和

一、題目

一個M*N的矩陣，找到此矩陣的一個子矩陣，並且這個子矩陣的元素的和是最大的，輸出這個最大的值。

二、解題思路

這題是最大子段和的二維推廣，實質可以將二維進行枚舉，並化爲最大子段和求解。最後子矩陣一定是在某兩行之間的。因此假設

我們認爲子矩陣在第i行和第j行之間，我們如何得到i和j呢，可以進行枚舉。  枚舉所有1<=i<=j<=M,表示最終子矩陣選取的行範圍。

然後對每一種i，j行間選定後對列用最大子段和處理（可以想象成將矩陣的 i 行到 j 行進行壓縮成一行後對這一行進行最大字段和求解）。

三、代碼

#include <iostream>
using namespace std;
int main (){
	int m, n;  // m行n列
	cin>>m>>n;
	int a[m+1][n+1];
	int t;
	for(int i = 1; i<=n; i++) a[0][i] = 0;   // 第0行填0 
	for(int i=1; i<=m; i++)
		for(int j=1; j<=n; j++){
			cin>>t;
			a[i][j] = a[i-1][j] + t;	
		}
	int b[n+1];  // 記錄每一輪的最大子段和 
	int Max = a[1][1];   // 記錄最大子矩陣和 
	for(int i=1; i<=m; i++){
		for(int j=i; j<=m; j++){
			b[1] =  a[j][1] - a[i-1][1];  // 第一個數複製
			Max = max(Max, b[1]);
			for(int k=2; k<=n; k++){
				b[k] = max(b[k-1] + a[j][k] - a[i-1][k], a[j][k] - a[i-1][k]);  // 每一輪的最大子段和算法 
				if(b[k] > Max) Max = b[k];  // 更新總的最大子矩陣和 
			}
		}
	}	
	cout<<Max<<endl;
	
	return 0;
}