【JZOJ 6080】【GDOI2019模擬2019.3.23】IOer

Description

m種物品，第i種物品的權值爲$(ui+v)$，每種物品有無數個，一種取法的代價爲所取物品權值乘積，
問取n個物品的所有不同取法的代價和，
兩個取法不同當且僅當存在一種物品在兩個方案中取得數量不同，

$n\leq10^{18},m\leq 2*10^5,mo=10^9+7$

Solution

顯然的，我們要求這個東西的第n項：
$\prod_{i=1}^m(\sum_{j=0}(vi+u)^jx^j)$
生成函數寫出來：
$ans=[x_n]\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-(vi+u)x}$
先拋出結論（下面的構造過程就是證明）：存在以下等式
設$p_i=(vi+u)$
$\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-p_ix}=\frac{1}{(vx)^{m-1}}\sum_{i=1}^m\frac{a_i}{1-p_ix}$
其中$a_i$爲係數，

還有一個東西：$\frac{1}{a}*\frac{1}{b}=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\frac{1}{b-a}$

考慮增量構造，每次乘上一個$\frac{1}{1-p_ix}$，考慮係數$a_i$的變化
爲了方便，我們設加入第j個元素後第i位的係數爲$a_{j,i}$
當前我們加入第j位：
$(vx)^{-j+1}(\sum_{i=1}^{j-1}\frac{a_{j-1,i}}{1-p_ix})(\frac{1}{1-p_jx})$

$(vx)^{-j+1}\sum_{i=1}^{j-1}(a_{j-1,i}*\frac{1}{1-p_ix}*\frac{1}{1-p_jx})$
用上面那個東西拆開：

$(vx)^{-j+1}\sum_{i=1}^{j-1}a_{j-1,i}(\frac{1}{1-p_ix}-\frac{1}{1-p_jx})(\frac{1}{(p_i-p_j)x})$
把最後面的p拆開：
$(vx)^{-j+1}\sum_{i=1}^{j-1}a_{j-1,i}(\frac{1}{1-p_ix}-\frac{1}{1-p_jx})(\frac{1}{(i-j)vx})$
再把最後面那個的$\frac{1}{vx}$提到前面，並把剩下的乘進去：

$(vx)^{-j}\sum_{i=1}^{j-1}\frac{a_{j-1,i}}{-(j-i)}\frac{1}{1-p_ix}+\frac{a_{j-1,i}}{(j-i)}\frac{1}{1-p_jx}$
我們發現一開始的項又出來了，也就是$a_{j-1}$與$a_j$之間存在以下關係：
$a_{j,i}=-\frac{1}{(j-i)}*a_{j-1,i}，當i<j$
$a_{j,i}=\sum_{k=1}^{j-1}\frac{1}{(j-k)}*a_{j-1,k}，當i=j$
也就是對於$j>k$，有：
$a_{j,i}=a_{k,i}*\prod_{l=k}^{j-1}-\frac{1}{(j-l)}=a_{k,i}*\frac{(-1)^{j-k}}{(j-k)!}$
我們設$f_i=a_{i,i}$，即i這一項第一次出現時的值，有：
$f_i=\sum_{j=1}^{i-1}\frac{1}{(i-j)}*a_{i-1,j}=\sum_{j=1}^{i-1}f_j*\frac{(-1)^{i-j-1}}{(i-j)!}$

不難發現，f就是個卷積式，也就是：
$f=f*(\sum_{i=1}\frac{(-1)^{i-1}}{i!})$
寫成生產函數的形式：（一次項記得加上）
$f=f*(1-e^{-x})+x$
解得：
$f=xe^x$
也就是：
$f_i=\frac{1}{(i-1)!}$
解出了$f$剩下的就好辦了，直接算即可，

$\frac{1}{(vx)^{m-1}}\sum_{i=1}^m\frac{(-1)^{m-i}}{(i-1)!(m-i)!}*\frac{1}{1-p_ix}$

複雜度：$O(n\log(10^9))$

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define efo(i,q) for(int i=A[q];i;i=B[i][0])
#define min(q,w) ((q)>(w)?(w):(q))
#define max(q,w) ((q)<(w)?(w):(q))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=200500,mo=998244353;
int read(int &n)
{
	char ch=' ';int q=0,w=1;
	for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int m,ans;
LL n,K,nw;
LL f[N];
LL jc[N],jcn[N];
LL ksm(LL q,LL w)
{
	LL ans=1;
	for(;w;w>>=1,q=q*q%mo)if(w&1)ans=ans*q%mo;
	return ans;
}
int main()
{
	freopen("ioer.in","r",stdin);
	freopen("ioer.out","w",stdout);
	int q,w,_;
	n=2e5;
	jc[0]=1;fo(i,1,n)jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
	jcn[n]=ksm(jc[n],mo-2);fod(i,n-1,0)jcn[i]=jcn[i+1]*(i+1LL)%mo;
	read(_);
	while(_--)
	{
		scanf("%lld%d%lld%lld",&n,&m,&K,&nw);
		ans=0;
		fo(i,1,m)
		{
			nw=(nw+K)%mo;
			f[i]=jcn[i-1]*jcn[m-i]%mo*((m-i)&1?-1:1);
			ans=(ans+f[i]*ksm(nw,n+m-1))%mo;
		}
		ans=ans*ksm(ksm(K,m-1),mo-2)%mo;
		printf("%lld\n",(ans+mo)%mo);
	}
	return 0;
}