【多項式】常係數齊次線性遞推

TIP：這篇文章只是快速入門，並不包含更加詳細的內容

Description

求以下遞推式第n項：
$f_i=\sum_{j=1}^mc_jf_{i-j}$
其中$c_j$爲常數，
形如這樣的式子叫做：常係數齊次線性遞推，

接下來我們將討論，當m較小，n很大時，如何快速求出答案

前置技能

先介紹一些必要的東西：

若對於m階矩陣$A$，有常數$\lambda$，非零列向量$\overrightarrow{v}$ ，滿足：
$\lambda \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} A$
那麼我們就稱：$\lambda$爲矩陣特徵值，$\overrightarrow{v}$爲矩陣特徵列向量，
移項得：
$(\lambda I-A)\overrightarrow{v}=0$
也寫作：
$(\lambda I-A)=0$
也就是說，$(\lambda I-A)$的行列式均爲0，即$|\lambda I-A|=0$，

我們可以將$|\lambda I-A|$看做是關於$\lambda$的一個m次多項式，記作$f(\lambda)$，叫做A的特徵多項式，
對於矩陣$A$的任意特徵值$\lambda_0$，都有$f(\lambda_0)=0$，

順便也定義一下矩陣多項式（即把普通多項式$f(x)$的$x$換成一個矩陣），
這個和向量差不多，加法就直接按位相加，常乘法就直接乘，乘法就矩陣乘法，

哈密頓—凱萊定理：對於矩陣A的特徵多項式$f(x)$，滿足$f(A)=0$

Solution

先把原始轉成矩陣乘法的形式，
對於轉移矩陣C，我們考慮求它的特徵多項式：
C大概是長這樣的
$\lambda I-C= \left( { \begin{matrix} \lambda-c_1 & -c_2 & \cdots &-c_{m-1} & -c_m \\ -1 & \lambda & \cdots & 0 &0 \\ 0 & -1 &\cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda \end{matrix} \tag{1} } \right)$
把第一行提出來，可以發現剩下的這個東西的特徵多項式（行列式）比較好求，即：
$f(\lambda)= \lambda^{m}-\sum_{i=1}^mc_i \lambda^{m-i}$
（本來要乘$(-1)^{i-1}$的但被逆序對貢獻的-1消掉了）

現在我們的目標是求$C^{n-1}$，求出這個東西以後就直接乘上初始矩陣即可，

我們把$C^{n-1}$看做是一個關於矩陣C的(n-1)次項多項式（只是只有一項罷了），
顯然的，$C^{n-1}$可以寫成$P(C)f(C)+R(C)$的形式，其中$R(C)=C^{n-1}\mod{f(C)}$

又已知$f(C)=0$，所以只用求$R(C)$即可，
我們可以把矩陣C先看成普通的實數x，即先求出$R(x)=x^{n-1}\mod{f(x)}$中的$R(x)$的係數，最後再考慮矩陣C，
關於$R(x)$怎麼求，我們可以考慮使用快速冪+多項式取模解決，
複雜度：$O(m\log(n)\log(n))$

設矩陣$G$表示一開始遞推式的前m項，$g_i$表示第i項
設多項式$R(x)=\sum_{i=0}^{m-1}d_ix^i$
好了我們現在求出了$R(x)$，現在我們要求的是$R(C)*G$，將其展開：
$\sum_{i=0}^{m-1}d_i*(C^i*G)$
答案就是這東西算出來的矩陣的第一項，
可以發現$C^i*G$這個矩陣的第一項就是$g_{i+1}$，也就是說：
$Ans=\sum_{i=0}^{m-1}d_i*g_{i+1}$

Extra

關於遞推的前m項怎麼算，這個可以用生產函數解決，
我們可以把序列寫成多項式$g(x)$，轉移也寫成多項式形式$c(x)$
這個多項式具有無限多項，滿足:
$g(x)=g(x)*c(x)+r$
其中r爲第一項，
移項得：$g(x)=\frac{r}{1-c(x)}$
這東西多項式求逆元即可，

這同時啓示我們只要存在形如這樣的式子即可以用這種方法解決，