單片機快速開平方的算法

C語言中開平方的算法中要開平方的話,可以在頭文件中加#include <math.h>.然後調sqrt(n);函數即可.但在單片機中要開平方.可以用到下面算法:
算法1:
本算法只採用移位、加減法、判斷和循環實現，因爲它不需要浮點運算，也不需要乘除運算，因此可以很方便地運用到各種芯片上去。

我們先來看看10進制下是如何手工計算開方的。
先看下面兩個算式，

x = 10*p + q (1)
公式(1)左右平方之後得：

x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)
現在假設我們知道x^{2和p，希望求出q來，求出了q也就求出了x}2的開方x了。
我們把公式(2)改寫爲如下格式：

q = (x^2 - 100p^2)/(20p+q) (3)
這個算式左右都有q，因此無法直接計算出q來，因此手工的開方算法和手工除法算法一樣有一步需要猜值。

我們來一個手工計算的例子：計算1234567890的開方

首先我們把這個數兩位兩位一組分開，計算出最高位爲3。也就是(3)中的p，最下面一行的334爲餘數，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值

   3    ---------------    | 12 34 56 78 90       9    ---------------    |  3 34  

下面我們要找到一個0-9的數q使它最接近滿足公式(3)。我們先把p乘以20寫在334左邊：

   3  q    ---------------    | 12 34 56 78 90       9    ---------------  6q|  3 34  

我們看到q爲5時(60+q*q)的值最接近334，而且不超過334。於是我們得到：

   3  5    ---------------    | 12 34 56 78 90       9    ---------------  65|  3 34    |  3 25    ---------------          9 56  

接下來就是重複上面的步驟了，這裏就不再囉嗦了。

這個手工算法其實和10進制關係不大，因此我們可以很容易的把它改爲二進制，改爲二進制之後，公式(3)就變成了：

q = (x^2 - 4p^2)/(4p+q) (4)
我們來看一個例子，計算100(二進制1100100)的開方：

  1  0  1  0    ---------------    | 1 10 01 00      1    --------------- 100| 0 10     | 0 00     ---------------    |   10 011001|   10 01    ---------------            0 00  

這裏每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移兩位，而由於q的值只能爲0或者1，所以我們只需要判斷餘數(x^2 - 4p^2)和(4p+1)的大小關係，如果餘數大於等於(4*p+q)那麼該上一個1，否則該上一個0。

下面給出完成的C語言程序，其中root表示p，rem表示每步計算之後的餘數，divisor表示(4p+1)，通過a>>30取a的最高 2位，通過a<<=2將計算後的最高2位剔除。其中root的兩次<<1相當於4p。程序完全是按照手工計算改寫的，應該不難理解。
複製代碼
unsigned short sqrt(unsigned long a){
unsigned long rem = 0;
unsigned long root = 0;
unsigned long divisor = 0;
for(int i=0; i<16; i++){
root <<= 1;
rem = ((rem << 2) + (a >> 30));
a <<= 2;
divisor = (root<<1) + 1;
if(divisor <= rem){
rem -= divisor;
root++;
}
}
return (unsigned short)(root);
}

算法2 :單片機開平方的快速算法

因爲工作的需要，要在單片機上實現開根號的操作。目前開平方的方法大部分是用牛頓
迭代法。我在查了一些資料以後找到了一個比牛頓迭代法更加快速的方法。不敢獨享，介
紹給大家，希望會有些幫助。

1.原理
因爲排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次冪，用B[0]，B[1]，…，B[m-1]表示一個序列，
其中[x]爲下標。

假設：
B[x],b[x]都是二進制序列,取值0或1。
M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + … + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow
(2,0)
N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + … + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow
(2,0)
pow(N,2) = M

(1) N的最高位b[n-1]可以根據M的最高位B[m-1]直接求得。
設 m 已知,因爲 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=
pow(2, m/2)
如果 m 是奇數，設m=2*k+1,
那麼 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果 m 是偶數，設m=2k,
那麼 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b[n-1]完全由B[m-1]決定。
餘數 M[1] = M - b[n-1]pow(2, 2n-2)

(2) N的次高位b[n-2]可以採用試探法來確定。
因爲b[n-1]=1，假設b[n-2]=1，則 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]pow(2,n-2),
2) = b[n-1]pow(2,2n-2) + (b[n-1]pow(2,2n-2) + b[n-2]pow(2,2n-4)),
然後比較餘數M[1]是否大於等於 (pow(2,2)b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2n-4)。這種
比較只須根據B[m-1]、B[m-2]、…、B[2n-4]便可做出判斷，其餘低位不做比較。
若 M[1] >= (pow(2,2)b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2n-4), 則假設有效，b[n-2] =
1；
餘數 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -
(pow(2,2)+1)pow(2,2n-4)；
若 M[1] < (pow(2,2)b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2n-4), 則假設無效，b[n-2] =
0；餘數 M[2] = M[1]。

(3) 同理，可以從高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

使用這種算法計算32位數的平方根時最多隻須比較16次，而且每次比較時不必把M的各位逐
一比較，尤其是開始時比較的位數很少，所以消耗的時間遠低於牛頓迭代法。

2. 實現代碼
   這裏給出實現32位無符號整數開方得到16位無符號整數的C語言代碼。

---

/******/
/Function: 開根號處理 /
/入口參數：被開方數，長整型 /
/出口參數：開方結果，整型 /
//
unsigned int sqrt_16(unsigned long M)
{
unsigned int N, i;
unsigned long tmp, ttp; // 結果、循環計數
if (M == 0) // 被開方數，開方結果也爲0
return 0;

N = 0;  

tmp = (M >> 30);          // 獲取最高位：B[m-1]  
M <<= 2;  
if (tmp > 1)              // 最高位爲1  
{  
    N ++;                 // 結果當前位爲1，否則爲默認的0  
    tmp -= N;  
}  

for (i=15; i>0; i--)      // 求剩餘的15位  
{  
    N <<= 1;              // 左移一位  

    tmp <<= 2;  
    tmp += (M >> 30);     // 假設  

    ttp = N;  
    ttp = (ttp<<1)+1;  

    M <<= 2;  
    if (tmp >= ttp)       // 假設成立  
    {  
        tmp -= ttp;  
        N ++;  
    }  

}  

return N;  

}

以上網絡查找的資料，可能有些晦澀難懂，不過在實際運用中可以參考使用這些算法。