最長公共子序列問題（經典DP）

在兩個字符串中，有些字符會一樣，可以形成的子序列也有可能相等，因此，長度最長的相等子序列便是兩者間的最長公共字序列，其長度可以使用動態規劃來求。

以s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}爲例。

借用《算法導論》中的推導圖：

創建 DP數組C[][];

   圖中的空白格子需要填上相應的數字（這個數字就是c[i][j]的定義，記錄的LCS的長度值）。填的規則依據遞歸公式，簡單來說：如果橫豎（i,j）對應的兩個元素相等，該格子的值 = c[i-1,j-1] + 1。如果不等，取c[i-1,j] 和 c[i,j-1]的最大值。首先初始化該表：

         

  然後，一行一行地從上往下填：

         

          S1的元素3 與 S2的元素3 相等，所以 c[2,1] = c[1,0] + 1。繼續填充：

    

            S1的元素3 與 S2的元素5 不等，c[2,2] =max(c[1,2],c[2,1])，圖中c[1,2] 和 c[2,1] 背景色爲淺黃色。

            繼續填充：

            

 

   

             

               中間幾行填寫規則不變，直接跳到最後一行：

              

                至此，該表填完。根據性質，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的長度，即爲5。

得到公式

代碼：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

int dp[510][510];
int main()
{
    char x[510],y[510];
    while(cin>>x>>y){
        memset(dp,0,sizeof(dp));//存儲狀態
        int len1=strlen(x);
        int len2=strlen(y);

        //推導公式
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(x[i-1]==y[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }
                else{
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        cout<<dp[len1][len2]<<endl;
    }
    return 0;
}