最长公共子序列问题（经典DP）

在两个字符串中，有些字符会一样，可以形成的子序列也有可能相等，因此，长度最长的相等子序列便是两者间的最长公共字序列，其长度可以使用动态规划来求。

以s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}为例。

借用《算法导论》中的推导图：

创建 DP数组C[][];

   图中的空白格子需要填上相应的数字（这个数字就是c[i][j]的定义，记录的LCS的长度值）。填的规则依据递归公式，简单来说：如果横竖（i,j）对应的两个元素相等，该格子的值 = c[i-1,j-1] + 1。如果不等，取c[i-1,j] 和 c[i,j-1]的最大值。首先初始化该表：

         

  然后，一行一行地从上往下填：

         

          S1的元素3 与 S2的元素3 相等，所以 c[2,1] = c[1,0] + 1。继续填充：

    

            S1的元素3 与 S2的元素5 不等，c[2,2] =max(c[1,2],c[2,1])，图中c[1,2] 和 c[2,1] 背景色为浅黄色。

            继续填充：

            

 

   

             

               中间几行填写规则不变，直接跳到最后一行：

              

                至此，该表填完。根据性质，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的长度，即为5。

得到公式

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

int dp[510][510];
int main()
{
    char x[510],y[510];
    while(cin>>x>>y){
        memset(dp,0,sizeof(dp));//存储状态
        int len1=strlen(x);
        int len2=strlen(y);

        //推导公式
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(x[i-1]==y[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }
                else{
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        cout<<dp[len1][len2]<<endl;
    }
    return 0;
}